Determinar el criterio de la ecuación
Necesito ayuda en como determinar el criterio para poder encontrar el punto máximo.
El problema es el siguiente:
Una empresa vende 4 000 unidades semanales de cierto producto cuando el precio por unidad es de ₡50; por cada rebaja de ₡5 en el precio puede vender 40 unidades más. ¿Qué precio maximizará el ingreso semanal?
1 Respuesta
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¡Hola Esteban!
Primero debemos calcular la función del precio. Es una recta que pasa por el punto (4000, 50) y tiene pendiente -5/40 = -1/8
Por lo tanto su ecuación es
p - 50 = -(1/8)·(q - 4000)
p- 50 = -q/8 + 500
p = -q/8 + 550
Ahora calculamos el ingreso
IT(q) = p·q = (-q/8 + 550) q = -q^2/8 + 550q
Y para calcular el mínimo derivamos e igualamos a 0
IT'(q) = -q/4 + 550 = 0
q/4 = 550
q = 550·4 = 2200
p = -q/8 + 550 = -2200/8 + 550 = -275 + 550 = 275
Es un máximo ya que la derivada segunda es -1/4.
Y eso es todo, saludos.
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Una consulta, ¿cómo calcular la pendiente? ¿cómo saber que es -5/40?
La pendiente de una recta se define como el cociente entre el incremento de y entre el incremento de x. En este caso la y es el precio y la x la cantidad
Llamando m a la pendiente (que es la letra que se suele usar)
$$\begin{align}&m=\frac{\Delta P}{\Delta Q}=\frac{-5}{40 }=-\frac 18\end{align}$$Debes tener en cuenta que el incremento de precio es negativo, por eso es -5.
