Densidad de los Racionales en los Reales
Sea a que pertenece a los Reales/Racionales. Demostrar que:
A = { m + na | m, n pertenecen a los enteros}
Es denso en los Reales, i.e. Yodo intervalo abierto contiene al menos un elemento de A.
1 Respuesta
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¡Hola Gabriela!
No está muy claro el enunciado.
Si a es un número fijo lo que dicen es falso, ya que si por ejemplo tomas a=1 el conjunto A solo tendría números enteros.
Luego a debe ser un numero variable, entonces la definición correcta sería por ejemplo:
A = { m+na | m,n € Z, a€Q}
Ahora si es verdad.
Si damos por sabido que los racionales son densos en R bastaría tomar m=0, n=1 con lo cual
A' = { a | a€ Q} = Q que es denso en R
Pero supongo que no podrás usar que Q es denso en R, luego habrá que demostrarlo.
Dado un intervalo abierto (a, b) con a < b
1) Si a,b € Q lo hacemos de forma fácil, tomamos c=(a+b)/2 € Q y se cumple c € (a,b)
2) Si a ó b no pertenecen a R va as ser algo más lioso, tomamos
c = 1/(b-a) > 0
eso es posible ya que al ser b>a tenemos b-a>0
Por la propiedad arquimediana existe un número natural mayor que c
n > c = 1/(b-a)
b-a > 1/n
Sea p la parte entera de na
p <= na < p+1
luego
p/n <= a < (p+1)/n
Tenemos
b = a + (b-a)
como a>=p/n
b >= p/n + (b-a)
como (b-a) > 1/n
b > p/n +1/n
b > (p+1)/n
Y arriba teníamos una desigualdad a< (p+1)/n con lo cual
b > (p+1)/n > a
Luego ya hemos encontrado un número racional
(p+1)/n € (a, b)
Y con eso queda demostrado que los racionales son densos en R
luego el conjunto
A' = {a € Q } es denso
Y A' está incluido en
A ={m+na | m,n € Z, a € Q}
luego A es denso en R.
Y eso es todo, saludos.
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