Un ejercicio con Producto directo interno y homomorfismo de Grupos.

Considere

ϕ: Z4 x Z6 → Z4 x Z3

Definida por   ϕ(x, y) = (x + 2y,  y)

  1. ¿Es ϕ una función?
  2. ¿Es ϕ un homomorfismo?

Z son los enteros, X es el producto cruz y 4, 6 y 3 son los subíndices.

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¡Hola Luis de Oro!

¿Pero seguro que es es el enunciado?

Es que tal como está no está bien definida la correspondencia

Los elementos cuya segunda componente es 3,4 ó 5 no tienen definida la imagen. Y varios elementos tampoco tendrán definida la primera componente cuando x+2y sea mayor que 3

Mira a ver si quieres decir esto:

Definida por   ϕ(x, y) = ((x + 2y) mod 4 ,  y mod 3)

con ello estaría bien definido.

Sa lu dos.

ahí está el ejercicio, tal cual.

y el 3 también es parecido, para ver si me podría ayudar con ese. Pero recuerde que una de las preguntas es: si ϕ es una función?

gracias, por estar tan atento a las preguntas.

Pues yo esperaba que la definieran tal como la escribí, pero no lo han hecho. De todas formas hay que considerar que qieren decir eso porque si no, no habría nada que hacer.

Es una función porque para todo par (x, y) de Z4xZ6 tenemos una y solo una imagen en Z4 x Z3 que es la que se obtiene haciendo

ϕ(x, y) = ((x + 2y) mod 4 ,  y mod 3)

Donde a mod b significa el resto de la división entera de a entre b.

Es un homomorfismo, sean:

(x1,y1),  (x2,y2) de Z4 x Z6

ϕ[(x1,y1)+ (x2,y2)] =

f[(x1+x2) mod 4, (y1+y2) mod 3] =

([(x1+x2) mod 4 + 2(y1+y2) mod 4] mod 4,  (y1+y2) mod 3])=

Esta operación de calcular el resto de la división de unas sumas puede hacerse igual calculando restos cada que sumamos que no calculando restos intermedios y calculando solo el resto al final, luego:

=((x1+x2+2y1+2y2) mod 4 , (y1+y2) mod 3)

·

ϕ(x1,y1) + ϕ(x2,y2) =

((x1+2y1) mod 4, y1 mod 4) + ((x2+2y2) mod 3, y2 mod 3)=

([(x1+2y1) mod 4+(x2+2y2) mod 4] mod 4, (y1 mod 3+ y2 mod 3) mod 3)=

Y aplicando la misma regla que antes

=((x1+2y1+x2+2y2) mod 4, (y1+y2) mod 3)

Y salvo por el orden en la primera suma son dos expresiones iguales, pero como la suma es conmutativa el resultado es el mismo.

·

3)

La letra de ese homomorfismo no se como escribirla, lo llamaré f.

Es una función obviamente, a cada elemento de Z(i) le corresponde una y solo una imagen de Z(i)

Ahora veamos que es un homomorfismo, debe cumplirse:

f(a+bi, c+di) = f(a+bi)+f(c+di)

f(a+bi + c+di) = f(a+c +(b+d)i) = a+c -(b+d)i

f(a+bi) + f(c+di) = a-bi + c-di = a+c -(b+d)i

Luego es un homomorfimo

Y eso es todo, saludos.

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Sube la nota a Excelente para que pueda seguir colaborando contigo.

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