Calculo integral de volumen de una pirámide

Necesito calcular lo siguiente

Una pirámide de 3 m de altura tiene una base cuadrada que tiene 4m por lado. La sección transversal de la pirámide, perpendicular a una altura de x m del vértice, es un cuadrado de x m por lado. Determinar el volumen de la pirámide

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5.848.750 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

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¡Hola Anónimo!

El volumen total lo obtienes haciendo rebanadas de la pirámide muy estrechitas y sumando el volumen de esas rebanadas. El volumen de cada rebanada será a^2 dx donde b es la arista del cuadrado.

La arista va creciendo linealmente desde 0 hasta 4m a lo largo de los 3 m que tiene de altura luego la función de determina la arista es

a(x) = 4x/3

ya que así cuando x=0

a(0) = 4·0/3 = 0

y cuando x=3 tenemos

a(3) = 4·3/3 = 4

Luego el volumen será

$$\begin{align}&V=\int_0^3\left(\frac{4x}3  \right)^2dx=\int_0^3 \frac {16 }9x^2dx=\frac{16}{9}·\frac{x^3}{3}\bigg|_0^3=\\&\\&\frac {16}{27}x^3\bigg|_0^3=\frac{16}{27}(3^3-0^3)=\frac {16}{27}·27 = 16\,u^3\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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