Derivada de una función compuesta

Siendo:

$$\begin{align}&z=e^{xy^2}\end{align}$$

con

$$\begin{align}&x=tcost\\&y=tsent\end{align}$$

Calcular:

$$\begin{align}&\frac{dz}{dt} \ \ en \ \ t_0=\frac{\pi}{2}\end{align}$$
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2

: )

Te muestro la forma de derivar la función "z" ya no como una función de dos variables sino como función de una sola: "t".

Haz click en la siguiente imagen para agrandarla:

:)

.

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1

;)
Hola Maar Hammett!

$$\begin{align}&\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}=\\&\\&e^{xy^2}y^2(cost-tsint)+e^{xy^2}2y(sent+tcost)\\&\\&\frac{dz}{dt} \Bigg|_{\frac{\pi}{2}}=\\&\\&sen \frac{\pi}{2}=1\\&\cos \frac{\pi}{2}=0\\&\\&e^{xy^2}=e^{\frac{\pi}{2}\cos \frac{\pi}{2}(\frac{\pi}{2}sen \frac{\pi}{2})^2}=e^0=1\\&\\&\frac{dz}{dt} \Bigg|_{\frac{\pi}{2}}=1(\frac{\pi}{2})^2(0- \frac{\pi}{2})+e^02  \frac{\pi}{2}(1+0)=\\&\\&=- \frac{\pi^3}{8}+ \pi\\&\\&\end{align}$$

saludos

;)

;)

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1

·

·

¡Hola Maar!

Cuidado que no te lo hicieron bien, atiende.

$$\begin{align}&Si\; \\&z=f(x,y)\\&\\&\text{donde }\\&x=x(t)\\&y=y(t) \\&\\&entonces\\&\frac{dz}{dt}= \frac{\partial f}{\partial x}· \frac{dx}{dt}+\frac{\partial y}{\partial y}·\frac{dy}{dt}\\&\\&\frac{d\left(e^{xy^2}\right)}{d t}=y^2e^{xy^2}·(cost-t\,sen\,t)+2xye^{xy^2}(sent+tcost)\\&\\&\text{Calculamos los valores de x y y en }t=\frac{\pi}{2}\\&\\&x\left(\frac \pi 2  \right)= \frac \pi 2·\cos \frac \pi 2=\frac \pi 2·0=0\\&\\&y \left(\frac \pi 2  \right)= \frac \pi 2·sen \frac \pi 2=\frac \pi 2\\&\\&\frac{d\left(e^{xy^2}\right)}{d t}\Bigg|_{\frac \pi 2}=\frac{\pi^2}{4}e^0\left(0-\frac \pi 2\right)+2·0·(\text{lo que sea})=-\frac {\pi^3}{8}\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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