Álgebra abstracta... Tengo este ejercicio sobre demostración de homomorfismos entre grupos!

Si f es un homomorfismo entre G y H; y K es un subgrupo de G, entonces prueba que f-1(f(K))=NK, donde N=ker f

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5.848.400 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

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¡Hola Zankass!

f^(1)[f(K)] = {x Є G | xf = kf para un k Є K}

Sea x Є f^(1)[f(K)]

existe k Є K tal que

kf = xf

kf ·(xf)^(-1)  = 1

kf · x^(-1)f = 1

[k·x^(-1)]f = 1

luego k·x^(-1) Є Ker f

como Ker f es un grupo también pertenece su inverso

x·k^(-1) Є Kerf = N

y tenemos

x = [x·k^(-1)] · k

donde x·k^(-1) Є N   y  k Є K

luego x Є NK

Luego hemos demostrado que

f^(-1)[f(K)] está incluido en NK

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Sea ahora x Є NK

x = nk  con n € N  y k € K

xf = (nk)f = nf · kf

como n Є N=Ker f se cumple nf = 1

xf = 1 · kf

xf = kf

luego x Є f^(-1)[f(K)]

por lo tanto

NK esta incluido en f^(-1)[f(K)]

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Y al darse la inclusión en doble sentido se da la igualdad

f^(-1)[f(K)] = NK

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Y eso es todo, saludos.

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