Calcular integrales con Sumas de Riemann
Tengo f(x) = 2cos(x) - 2, x en [0, 2pi].
Parto el intervalo en n pates iguales y me quedan subintervalos de longitud 2pi/n.
Tomo como puntos intermedios xk = (2pi/n)k
Luego Sn = suma desde k = 1 hasta n de: {2cos[(2pi/n)k] - 2}2pi/n
Calculando la integral, el resultado es -4pi. Pero no se cómo calcular la suma para llegar o aproximarme a ese valor. Supongo que habrá algún truco con identidades trigonométricas o algo.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Ninel!
Deja que tome una foto para ver si la sacan en Facebook
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No es necesario tomar el punto intermedio, si la integral existe dará lo mismo el punto que tomes en las sumas de Riemann.
$$\begin{align}&S=\lim_{n\to \infty} \frac{2pi}{n}\sum_{k=1}^{n} \left(2cos\left(\frac{2\pi k}{n} \right)-2 \right)=\\&\\&\\&\lim_{n\to \infty} \frac{2pi}{n}\left( -2n +2\sum_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{2\pi k}{n} \right)\right)=\\&\\&-4\pi+4\pi \lim_{n\to \infty}\frac 1n\sum_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{2\pi k}{n} \right)=\\&\\&\text{Y tienes que demostrar que ese límite es 0}\\&\text{lo cual no es descabezado porque el coseno la}\\&\text{de las veces es positivo y la mitad negativo}\\&\\&\text{1) Si n es par el sumatorio tiene los ángulos}\\&\frac {2\pi}n, \frac {4\pi}n,...,\frac{n\pi}{n},\frac{(n+2)\pi}{n}, \frac{(n+4)\pi}{n},...,\frac{2n\pi}{n}\\&\\&\text{Para cada ángulo }\frac{2k\pi}{n}\text { entre } \frac {2\pi}n y \frac{n\pi}{n}\\&\\&\text{tienes un ángulo }\frac{(n+2k)\pi}{n}\text{ entre }\frac{(n+2)\pi}{n} y \frac{2n\pi}{n}\\&\\&\text{esos dos ángulos difieren en }\pi\text{ rad, luego los cosenos}\\&\text{son opuestos y el sumatorio total es 0}\\&\\&2)\text{ Si n es impar vamos a emperejarlos asi}\\&\\&\frac{2k\pi}{n}\;con\; \frac{(2k+n-1)\pi}{n}\quad \text{Para }1\le k\le \frac{n-1}{2}\\&\\&\text{Solo queda suelto el último } \frac{2\pi n}{n}\\&\\&\text{Usaremos una identidad trigonometrica en la suma dos a dos}\\&\\&\cos a + cosb = 2 \cos\left(\frac {a+b}2\right)\cos\left(\frac {a-b}2 \right)\\&\\&\text{El límite va a quedar así}\\&\\&\lim_{n\to \infty}\frac 1n\left(\cos 2\pi+\sum_{k=1}^{\frac{n-1}2}2 \cos\left(\frac{(4k+n-1)\pi}{2n} \right)\cos\left(\frac{(1-n)\pi}{2n} \right) \right)=\\&\\&\lim_{n\to\infty}\frac{\cos\left(\frac{(1-n)\pi}{2n} \right)}{n}·\sum_{k=1}^{\frac{n-1}2}2 \cos\left(\frac{(4k+n-1)\pi}{2n} \right)=\\&\\&\text{n será más útil frenando el expansionismo del sumatorio}\\&\\&=\lim_{n\to\infty}\cos\left(\frac{(1-n)\pi}{2n} \right)·\lim_{n\to\infty} \frac 2n\sum_{k=1}^{\frac{n-1}2}\cos\left(\frac{(4k+n-1)\pi}{2n} \right)=\\&\\&\text{el coseno está limitado por -1 y 1}\\&\text{el sumatorio estará acotado por }-\frac{n-1}{2} y \frac{n+1}{2}\\&\text{el segundo límite estará acotado por -1 y 1}\\&\\&\text{Y el primer límite es} \qquad \cos \left(-\frac \pi 2\right)=0\\&\text{luego el producto de los límites es 0}\\&\\&\text{Asi que tanto para n par como impar tenemos}\\&\lim_{n\to \infty}\frac 1n\sum_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{2\pi k}{n} \right)=0\\&\\&\text{Y la suma de Riemann es } \\&S=-4\pi\end{align}$$Y esto es todo, sa lu dos.
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