Álgebra abstracta...demostración sobre si en un un grupo finito existe sólo un subgrupo de un orden dado!

Gracias de antemano por su apoyo en esta pregunta...

Demostrar que si en un grupo finito existe sólo un subgrupo de un orden dado, entonces el subgrupo es normal.

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¡Hola Zankass!

La conjugación de un grupo es un grupo con el mismo número de elementos, no sé si habrás dado eso.

Sea G un grupo, H un subgrupo de G y g un elemento de G. El conjugado de H por g es g^(-1)Hg. Veamos primero que es un subgrupo de G.

Sean a,b de g^(-1)Hg

a= g^(1)cg

b= g^(-1)dg

con c y d de H

b^(-1) = g^(-1)·d^(-1)·g

ab^(-1) = g^(1)·c·g · g^(-1)·d^(-1)·g = g^(-1)·c·d^(-1)·g

Como d € H ==> d^(-1) € H ==>c·d^(-1) € H ==>

g^(-1)·c·d^(-1)·g € g^(-1)Hg  ==> a·b^(-1) € g^(-1)Hg

Luego g^(-1)Hg

Ahora veamos que g^(-1)Hg es isomorfo con H.

El isomorfismo va a ser por supuesto el natural. Llamando s al isomorfismo

s : H ----->g^(-1)Hg

H ------>g^(-1)·h·g

Es homorfismo

(hk)s  = g^(-1)·h·k·g =g^(-1)·h· g·g^(-1) · k·g = hs · ks

Es monomorfismo.  Sean h y k de H tales que hs = ks

g^(-1)·h·g = g^(1)·k·g

multiplicando por g a izquierdas

hg = kg

multiplicando por g^(-1) a derechas

h=k

Es epimorfismo.  Dado a € g^(-1)Hg tiene la forma

a = g^(-1)hg   con h € H

luego

hs = g^(-1)hg = a

Luego todo elemento a de g^(-1)Hg tiene un elemento h de H tal que hs=a, es un epimorfismo

Luego ya tenemos las condiciones que necesita s para ser un isomorfimo y los grupos generados por la conjugación de un subgrupo H por un elemento g de G son isomorfos a H.

Entonces si en un grupo existe un solo grupo de cierto orden tendremos que todas la conjugaciones de ese grupo serán el mismo grupo.

Por tanto dado h € H y cualquier g de G tendremos

g^1·h·g € H

Luego H es un subgrupo normal de G.

Y eso es todo, saludos.

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