Como resolver un problema algebraico?

Janette necesita envolver un regalo para su mamá, la caja del regalo mide el doble de ancho que de alto y es 10 centímetros más largo que el ancho.

A partir de las expresiones algebraicas que realizaste, da respuesta a las siguientes preguntas:

  • Si el papel con el que desea envolver el regalo tiene un perímetro de 50 centímetros, y el papel mide de ancho tres cuartas partes de largo. ¿Cuántos pliegos de papel se requerirán para poder forrar la caja? Considerando que la caja tuviera una altura de 20 centímetros.
  • ¿Cuáles deberían de ser las medidas de la caja para que Janette pudiera envolver el regalo con un pliego de papel? (Largo, ancho y alto)
  • Si la superficie total de la caja fuera de 1200 cm2 ¿Cuáles serían las medidas de la caja? (Largo, ancho y alto)
  • ¿Cuál sería el volumen de la caja si tuviera un ancho de 35 centímetros?
  • Si el volumen de la caja fuera de 900 cm3 ¿Cuáles serían las medidas de la caja?
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Respuesta
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¡Hola Heidy!

Llamemos:

A = ancho

H = alto

L = largo

Lo que nos dicen es

A = 2H

L = A + 10cm

Ahora vamos a calcular el área de un pliego de papel.

a = ancho del pliego

l = laro del pliego

P = 50 cm

P = 2a + 2l = 2(a+l)

Como a=(3/4)l

P = 2[(3/4)l + l] = 2·(7/4)l = (7/2)l = 50 cm

l = 50·2/7 cm = 100/7 cm

a = (3/4)l = (3/4)·(100/7) cm = 300/28 cm = 75/7 cm

Y la superficie del pliego será

s = (100/7)(75/7) cm^2 = 7500/49 cm^2

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Y ahora vamos a calcular la superficie de la caja, que tiene 6 caras iguales dos a dos.

Si la caja tiene H=20cm

A=2H = 40cm

L = A+10cm = 40cm + 10cm = 50cm

Y la superficie es:

S = 2(20·40 + 20·50 + 40·50)cm^2 = 2(800+1000+2000)cm^2 = 7600cm^2

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Y ahora dividimos la superficie de la caja entre la de un pliego para calcular el número de pliegos necesarios

n = 7600 / (7500/49) = (7600 · 49) / 7500 = 3724/75 pliegos

En número decimal son 49.65333... pliegos, en número entero serán necesarios 50 pliegos.

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La superfice de la caja es:

S = 2(HA + HL + AL)

nos dijeron que

A = 2H

L = A + 10cm

podemos ponerlo todo en función de H

A = 2H

L = 2H + 10cm

con lo cual

S = 2[H·2H + H(2H+10) + 2H(2H+10)] =

2(2H^2 + 2H^2 + 10H + 4H^2 + 20H) =

16H^2 + 60H

Y esto debe ser igual a la superficie de un pliego

16H^2 + 60H = 7500/49

4H^2 + 15H - 1875/49 = 0

196H^2 + 735H - 1875 = 0

$$\begin{align}&H = \frac{-735\pm \sqrt{735^2+4·196·1875}}{2·196}=\\&\\&\frac{-735\pm \sqrt{2010225}}{392}=\frac{-735\pm 35 \sqrt {1641}}{392}=\\&\\&\text{Solo sirve la positiva }\\&\\&H= \frac{-105 +5 \sqrt{1641}}{56}\\&\\&\text{lo pasaremos a decimal que no nos enteramos}\\&\\&H = 1.741898cm\\&A = 3.4837961cm\\&L= 13.4837961cm\end{align}$$

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Será la misma ecuación pero igualada a 1200

16H^2 + 60H - 1200 = 0

4H^2 + 15H - 300 = 0

H = [-15 + raíz(225+4800)] / 8 = 6.9859cm

A = 13.9718cm

L = 23.9718cm

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A=35cm

H = 35/2 = 17.5cm

L=2A+10cm = 80cm

V = 35 · 17.5 · 80 cm^3 = 49000cm^3

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El volumen es el producto de las tres longitudes

V = HAL = H(2H)(2H+10) = 4H^3 +20H^2 = 900

H^3 + 5H^2 - 225 = 0

Y esto que yo sepa no se resuelve de cualquier forma, no sé lo que estáis estudiando pero se necesitan estudios elevados para resolverla. Si los tienes resuélvela de la forma que lo hayáis hecho otras veces, yo usare el ordenador y la respuesta es:

H=4.79323cm

A= 9.58646cm

L=19.58646cm

Y eso es todo. Otra vez te pediré que dividas problemas como este en varias preguntas, se ha hecho muy largo.

Saludos.

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¡Gracias! Valero Angel

Tu respuesta me ha sido de mucha ayuda, tu explicación es muy clara, y muy completa de nuevo gracias  saludos 

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