Tamaño de muestra para cometer un error máximo

Queremos determinar el porcentaje de estudiantes que necesitan gafas. De un estudio anterior sabemos que el 65% de ellos usaban gafas. A) ¿Qué tamaño de muestra debemos coger para cometer un error máximo de 5% con nivel de riesgo del 5%)

b) Si no tenemos información previa, ¿Qué tamaño de muestra debemos tomar?

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¡Hola Mari!

El error máximo que se espera cometer es el radio del intervalo de confianza, queremos que ese radio sea menor o igual que 0.05

El radio del intervalo de confianza para una proporción es.

$$\begin{align}&r = z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p\hat q}{n}}\\&\\&\text{de donde}\\&\\&r^2 = z_{\alpha/2}^2·\frac{\hat p\hat q}{n}\\&\\&n= \frac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p\,\hat q}{r^2}\\&\\&\text{Para un nivel de riesgo del 5%, o sea, 95% de confianza}\\&\text{es de sobra conocido que }z_{\alpha/2}=1.96\\&\\&n=\frac{1.96^2·0.65·0.35}{0.05^2}=349.5856\\&\\&\text{Luego debe ser n=350}\\&\\&b)\text{Si no se tiene información previa se toma}\\&\hat p=\hat q = 0.5\\&\text{que es el peor de los casos}\\&\\&n=\frac{1.96^2·0.5·0.5}{0.05^2}=384.16\\&\\&\text{se necesitaran n=385}\end{align}$$

Y eso es todo.

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