Para la siguiente función f(x)=x^2/x-2 Calcular
Sus puntos de corte con los ejes, dominio y el punto de máximo y mínimo.
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¡Hola David!
Todo numerador o denominador compuesto debe ir entre paréntesis
f(x) = x^2/(x-2)
Los cortes con el eje X se dan cuando la funcion vale 0
x^2 / (x-2) = 0
x^2=0
x=0
Luego es el punto (0,0)
Y con el eje Y es cuando x=0, pero es el mismo que ya se calculó.
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El dominio es todo R salvo cuando el denominador vale 0
x-2=0
x=2
Dom f = R-{0}
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Hay asíntotas verticales cuando la función tiende a infinito, en esta función sucede esto cuando e denominador es 0, luego tenemos la asíntota vertical
x=2
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Hay asíntota horizontal si el límite en el infinito es un numero finito, en este caso no sucede eso porque el límite es infinito.
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Hay asíntota oblicua cuando el limite de la función dividida entre x en el infinito es un número finito distinto de 0, en este caso sucede
$$\begin{align}&m= \lim_{x\to \pm\infty}\frac{\frac{x^2}{x-2}}{x}=\lim_{x\to\pm \infty}\frac{x^2}{x^2-2x}=1\\&\\&\text{Es la misma en }+\infty\;\; y\,-\infty\\&\\&b=\lim_{x\to\pm \infty }(f(x)-mx)=\\&\\&\lim_{x\to \pm\infty}\frac{x^2}{x-2}-x=\lim_{x\to \pm\infty}\frac{x^2-x^2+2x}{x-2}=\\&\\&\lim_{x\to \pm\infty}\frac{2x}{x-2}=2\\&\\&\text{Luego la asítota oblicua es}\\&\\&y=x+2\\&\\&\text{Para los máximos-mínimos derivamos e igualamos a 0}\\&\\&f'(x)=\frac{2x(x-2)-x^2}{(x-2)^2}=\frac{2x^2-4x-x^2}{(x-2)^2}=\\&\\&\frac{x^2-4x}{(x-2)^2}=0\\&\\&x^2-4x = 0\\&x(x-4)=0\\&\\&x_1=0\\&x_2=4\\&\\&\text{Laderivada segunda es}\\&\\&f''(x)=\frac{(2x-4)(x-2)^2-2(x^2-4x)(x-2)}{(x-2)^4}=\\&\\&\frac{(2x-4)(x-2)-2(x^2-4x)}{(x-2)^3}=\\&\\&\frac{2x^2-8x+8-2x^2+8x}{(x-2)^3}=\frac{8}{(x-2)^3}\\&\\&f''(0)=\frac{8}{(-2)^3}=-1\implies \text{máximo relativo}\\&\\&\text{es el punto } (0,f(0))=(0,0)\\&\\&f''(4)=\frac{8}{2^3}=1\implies \text{ mínimo relativo}\\&\\&\text{es el punto } (4,f(4))=\left(4,\frac{16}{2}\right)= (4,8)\\&\\&\\&\end{align}$$Y este es uno de esos casos donde el mínimo relativo es mayor que el máximo relativo, eso se puede dar en casos donde la función no es derivable en un punto intermedio, tal como sucede aquí que en x=2 no es derivable.
Y eso es todo, saludos.
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