El ingreso obtenido por la venta de un patín t semanas después de su introducción al mercado está dado por I(t)= 63t-t^2/ t^2+63
0≤T ≤63
¿Cuándo se alcanza el ingreso máximo?
¿Cuál es el ingreso máximo?
Ayudenme por favor a resolver este problema.
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Camila!
Derivaremos el ingreso y lo igualaremos a 0.
$$\begin{align}&I(t)=\frac{63t-t^2}{t^2+63}\\&\\&I'(t)=\frac{(63-2t)(t^2+63)-(63t-t^2)·2t}{(t^2+63)^2}=\\&\\&\frac{63t^2+3969-2t^3-126t-126t^2+2t^3}{(t^2+63)^2}=\\&\\&\frac{-63t^2+3969-126t}{(t^2+63)^2}=\\&\\&-63· \frac{t^2+2t-63}{(t^2+63)^2} = 0\\&\\&t^2+2t-63=0\\&\\&t=\frac{-2\pm \sqrt{4+252}}{2}=\frac{-2\pm16}{2}\\&\\&t_1=-9\\&t_2=7\\&\\&\text{La primera no sirve}\\&\text{La derivada segunda es complicada de calcular,}\\&\text{pero tenemos I(t) continua y derivable en el}\\&\text{intervalo cerrado [0,63]. Luego el máximo lo}\\&\text{tendrá en un punto crítico o en los extremos.}\\&\\&I(0)=0\\&I(63)=0\\&\\&I(7) = \frac{63·7-7^2}{7^2+63}=\frac{392}{112}=\frac 72 = 3.5\end{align}$$Luego el ingreso máximo se produce a las 7 semanas y es 3.5
Y eso es todo, saludos.
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