Tengo esta integral para Sumas de Riemann con funciones trigonométricas
Me piden aproximar la siguiente integral mediante sumas de Riemann:
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Fabiola!
Esta no es tan sencilla. Haré uso de unas cuantas identidades trigonométricas que espero conozcas y algunas propiedades sencillas de los sumatorios, si no entiendes algún paso me lo dices.
$$\begin{align}&\int_{\frac \pi 4}^{\frac {5\pi} 4} (1+sen^2x)dx=\\&\\&\lim_{n\to \infty} \frac{\pi}{n}\sum_{i=1}^n \left(1+sen^2\left(\frac \pi4+\frac{i\pi}{n} \right) \right)=\\&\\&\lim_{n\to \infty} \frac{\pi}{n}\sum_{i=1}^n \left(1 \right)+\lim_{n\to \infty} \frac{\pi}{n}\sum_{i=1}^n sen^2\left(\frac \pi4+\frac{i\pi}{n} \right)=\\&\\&\pi+\lim_{n\to \infty} \frac{\pi}{n}\sum_{i=1}^n \left(sen \frac \pi4 \cos \frac{i\pi}{n}+\cos \frac \pi 4sen \frac{i\pi}{n} \right)^2=\\&\\&\pi+\lim_{n\to \infty} \frac{\pi}{n}\sum_{i=1}^n \left(\frac {\sqrt 2} 2cos \frac{i\pi}{n}+\frac {\sqrt 2} 2sen \frac{i\pi}{n} \right)^2=\\&\\&\pi+\lim_{n\to \infty} \frac{\pi}{n}\sum_{i=1}^n \frac 12\left(\cos \frac{i\pi}{n}+sen \frac{i\pi}{n} \right)^2=\\&\\&\pi+\frac \pi 2 \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(\cos^2\left( \frac{i\pi}{n}\right)+sen^2 \left(\frac{i\pi}{n}\right) + 2 \cos \left(\frac{i\pi}{n}\right)sen\left( \frac{i\pi}{n}\right) \right)=\\&\\&\pi+\frac \pi 2 \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(1 + sen \left(\frac{2i\pi}{n} \right) \right)=\\&\\&\pi+\frac \pi 2+ \frac \pi 2 \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n sen\left(\frac{2i\pi}{n}\right)=\\&\\&\text{ese sumatorio tiene sumandos positivos y negativos}\\&\text{aleatoriamente, no se espera que sea ni pequeño sino}\\&\text{próximo a 0}.\\&\text{Con lo cual al tomar límite y multiplicar eso por }\frac 1n\\&\text{el límite será 0}\\&\\&\pi+\frac \pi 2+ \frac \pi 2·0 = \frac {3\pi}2\\&\\&\end{align}$$Sé que tiene que ser así, aunque el argumento dado no sea muy riguroso, vamos a comprobarlo.
$$\begin{align}&\int_{\pi/4}^{5\pi/4}(1+sen^2x)dx=\\&\\&\int_{\pi/4}^{5\pi/4}\left(1+\frac 12-\frac{cos2x}{2} \right)dx=\\&\\&\left[\frac{3}{2}x-\frac{sen 2x}{4}\right]_{\pi/4}^{5\pi/4}=\\&\\&\frac{15\pi}{8}-\frac{sen \frac{10\pi}{4}}{4}-\frac {3\pi}{8}+\frac{sen \frac {2\pi}{4}}{4}=\\&\\&\text{los dos senos son iguales, la diferencia de ángulos es }2\pi\\&\\&\frac{12\pi}{8}=\frac {3\pi}{2}\\&\end{align}$$Está bien.
Y eso es todo, saludos.
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Ayer lo dejábamos en que el sumatorio era complicado pero tenía que valer una cantidad pequeña, hoy veremos que el sumatorio es directamente 0 emparejando senos cuyo valor es opuesto
$$\begin{align}&\text{Si n es impar}\\&\\&\sum_{i=1}^n sen\left(\frac{2i\pi}{n}\right)=\\&\\&sen\left(\frac{2\pi}n \right)+ sen\left(\frac{2(n-1)\pi}n \right)+\\&\\&sen\left(\frac{4\pi}n \right)+ sen\left(\frac{2(n-2)\pi}n \right)+\\&....+\\&\\&sen\left(\frac{(n-1)\pi}n \right)+ sen\left(\frac{(n+1)\pi}n \right)+\\&\\&sen\left(\frac{2n\pi}n \right)= 0\\&\\&\text{Ya que los emparejados son ángulos que entre ambos suman 2} \pi\\&\text{y por tanto los senos son opuestos, y el suelto es }sen 2\pi =0 \\&\\&\\&\text{Y si n es par el sumatorio es}\\&\\&\sum_{i=1}^n sen\left(\frac{2i\pi}{n}\right)=\\&\\&sen\left(\frac{2\pi}n \right)+ sen\left(\frac{2(n-1)\pi}n \right)+\\&\\&sen\left(\frac{4\pi}n \right)+ sen\left(\frac{2(n-2)\pi}n \right)+\\&....+\\&\\&sen\left(\frac{(n-2)\pi}n \right)+ sen\left(\frac{(n+2)\pi}n \right)+\\&\\&sen \left(\frac{n\pi}{n} \right)+sen\left(\frac{2n\pi}n \right)= 0\\&\\&\text{por lo mismo que antes y porque }sen\pi =0\\&\\&\\&\text{Luego con esto la suma de Riemann era}\\&\\&S_n=\pi+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\lim_{n\to\infty}\frac 1n·0=\frac{3\pi}{2}+\frac \pi 2·0= \frac{3\pi}{2}\\&\end{align}$$Y eso es todo, ahora ya está impecable.
Saludos.
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