Aplicación de integrales, aproximación de área

¡Madre mía! Con lo que te enseñan no hay casi para empezar.

1) El peso depende del volumen de la chapa empleada.

Sea r el radio, h la altura y g el grosor, teniendo en cuenta que le radio es el radio exterior y h la altura total.

El volumen de chapa empleada será

$$\begin{align}&V(r,h,g)=2\pi r^2g+ 2\pi r(h-2g)g =\\&\\&\text{Para derivar mejor que no haya }\\&\text{con variables repetidas}\\&\\&=2\pi(r^2g+rhg -2rg^2)\\&\\&\text{La diferencial es la suma de las diferenciales}\\&\\&dV=\frac{\partial V}{\partial r}dr+\frac{\partial V}{\partial h}dh+\frac{\partial V}{\partial g}dg\\&\\&dV=2\pi\left( (2rg+hg-2g^2)dr+rg\,dh+(r^2+rh-4gr)dg \right)\\&\\&\text{Los diferenciales serán }\\&dr = \frac{kr}{100}  \qquad dh=\frac{kh}{100} \qquad dg=\frac{kg}{100}\\&\\&dV=\frac{k\pi}{50}\left(2r^2g+rgh-2rg^2+rgh+r^2g+rgh-4rg^2  \right)=\\&\\&\frac{k\pi}{50}\left(3r^2g+3rgh-6rg^2  \right)= \frac {3k\pi}{50}(r^2g+rgh-2rg^2)=\\&\\&\frac {3k\pi}{50}·\frac{V}{2\pi}=\frac{3k}{100}V\\&\\&\text{Luego el porcentaje aproximado de variación es }(3k)\%\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

Y digo aproximado porque el real calculado con todas las cuentas sería (k^3)%, pero como quieren que se calcule por diferenciales allá ellos.  De todas formas no estoy seguro de si ellos lo harán de alguna forma más simplificada y probablemente errónea.

Y lo dejo aquí porque tengo que irme, ya lo continuaré cuando pueda.

El apartado b es más sencillo ya que no interviene la variable g

En el apartado c ten cuidado porque el radio y la altura supongo que serán las exteriores, con lo cual para calcular el volumen interior tendrás que restar g al radio y 2g a la altura.

Sa lu dos.

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