Demostrar si el limite existe cuando lim ƒ (x) x → a
Encontrar en la función si el limite existe cuando lim ƒ (x) x → a
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¡Hola Ecthel!
Para que exista el límite deben existir los dos límites laterales y coincidir.
La función en cualquier punto distinto de 0 tiene un entorno que no contiene el 0 y por lo tanto siempre podemos tomar un delta tal que su entorno no tenga el 0 y el límite dependerá solo de x^4 o solo de -x^4 que son polinimios y tienen límite.
$$\begin{align}&Si\; a\lt 0\\&\lim_{x\to a}f(x)=-a^4\\&\\&Si a\gt 0\\&\lim_{x\to a}f(x)=a^4\end{align}$$En el 0 no es posible eso, cualquier entorno tendrá valores positivos y negativos y la función para unos es distinta que para los otros. Entonces calcularemos los límites laterales.
$$\begin{align}&Si\;a=0\\&\\&\lim_{x\to 0^-} f(x) = -0^4=0\\&\\&\lim_{x\to 0^+}f(x) = 0^4=0\end{align}$$Y como ambós límites coinciden existe el limite y es 0.
Resumiendo, existe el límite para todo a.
Si a<0 el límite es -a^4
Si a>0 el límite es a^4
Si a=0 el límite es 0, te sirve ponerlo en cualquiera de los dos casos anteriores.
Y eso es todo, saludos.
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Como se podría graficar la función anterior.
A mano tendrías que hacer una tabla y unir los puntos con un trazo curvo. Si lo haces con algún programa debes hacer que las funciones se dibujen en un intervalo en lugar de todo R, o dibujarlas en todo R y luego borrar lo que sobra
Esta es la gráfica hecha con Geogebra. El punto (0,0) se pinta con el mismo color que la curva a la izquierda ya que toma el valor de esta, aunque en este caso daría lo mismo que fuera tomado por la derecha. Por eso precisamente es continua.
Sa lu dos.
1 respuesta más de otro experto
;)
Hola Ecthel!
Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio, luego ese límite existe en todos los puntos de x^4 y -x^4. El único problemático es el 0, porque la función por la izquierda y por la derecha son diferentes, con lo cual hemos de calcular los dos límites laterales para ver si coinciden. Recuerda que el límite, si existe, ha de ser único:
$$\begin{align}&\lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0}(-x^4)=0\\&\\&\lim_{x \to 0^+}f(x)=\lim_{x \to 0}(x^4)=0\\&\\&luego \\&\lim_{x \to 0^}f(x)=0\end{align}$$Luego ese límite existe en todos los puntos