Extremos relativos de una función:máximo, mínimo, puntos inflexión
Encontrar extremos relativos de la función siguiente, usando las derivaciones correspondientes
x(x-1)^4
1 respuesta
;)
Los max y min se calculan igualando la primera derivada a 0
Los puntos de inflexión se calculan igualando la segunda derivada a cero.
Derivemos:
$$\begin{align}&y=x(x-1)^4\\&y'=1·(x-1)^4+4x(x-1)^3=factor\ común=\\&(x-1)^3 \Big[(x-1)+4x \Big]=(x-1)^3(5x-1)\\&\\&y''=3(x-1)^2(5x-1)+(x-1)^3·5=factor \ común=\\&(x-1)^2 \Big[3(5x-1)+5(x-1) \Big]=(x-1)^2(20x-8)\\&\\&\\&MAX-MIN\\&y'=0 \Rightarrow\\&(x-1)=0 \rightarrow x=1\\&(5x-1)=0 \rightarrow x=\frac{1}{5}\\&criterio 1º derivada:\\&(-\infty,\frac{1}{5}) \rightarrow y'(0)=(0-1)^3(0-1)=(-1)(-1)>0 \Rightarrow creciente\\&(\frac{1}{5},1) \rightarrow y'(0.9)=(0,9-1)^3(5·0,9-1)=(-)(+)=-<0 \rightarrow decreciente\\&(1,+\infty)\rightarrow y'(2)=(+)(+)>0 \Rightarrow creciente\\&\\&Max (\frac{1}{5},f(\frac{1}{5}))=(\frac{1}{5},\frac{256}{3125})\\&\\&minim (1,f(1))=(1,0)\\&\\&\\&PUNTOS \ INFLEXION\\&y''=0\\&y''=(x-1)^2(20x-8)\\&20x-8=0\\&x=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}\\&\end{align}$$evidentemente x=2/5 es un punto de inflexión, pues se encuentra entre un máximo y un mínimo
¡Gracias! Porque en Primera derivada prueba tres puntos.
La segunda derivada tiene solución por igual a 1. Aquí se hace cero también esta segunda derivada
;)
Porque con la primera derivada creo los intervalos de crecimiento. Como hay dos puntos con derivada cero, hay tres intervalos de crecimiento. En cada intervalo pruebo un punto como a la izquierda de 1/5 sale y'>0 es creciente
Entre 1/5 y 1 sale y'<0 luego es decreciente
Con lo cual concluimos que x=1/5 es máximo.
A la derecha de 1 sale y'>0
Luego si a la izquierda de 1 es decreciente y luego creciente quiere decir que 1 es minimo.
Finalmente en la segunda derivada también sale 0 cuando x=1; pero como ya sé que es un mínimo no hace falta comprobar nada.
Te recuerdo que y'=0 es una condición necesaria, pero no sufucuente de máximos y mínimos.
Así mismo y''=0 es una condición necesaria pero no suficiente de punto de inflexión.
