¡¿Cómo obtener el volumen de revolución de la siguiente gráfica?

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¡Ah, aquí ya esta todo!

Gira alrededor de un eje vertical, luego si usaras el método de los discos sería una integral respecto de y. Pero estoy viendo que con los discos harían falta dos integrales, luego aunque a mi no me gusta mucho el método de los cascarones será mejor usarlo.

Lo primero será traladar el eje Y (x=0)  a la recta x=2. En esto siempre tengo la duda de si hay que cambiar x por x+2 o por x-2, pero probando se averigua cuál de las dos formas es.

y= 1 + 2x - x^2

y= x-1

La recta pasa por (2,1) por ejemplo que cuando se haya movido el eje Y será el punto (0,1) luego la nueva ecuación de la recta debe ser

y = x+1

Vale, la sustitución es poner x+2 donde antes ponía x, la otra función quedará

y = 1 +2(x+2) - (x+2)^2 = 1 + 2x + 4 -x^2 - 4x - 4 = 1 - 2x - x^2

Y los puntos de corte son

1 - 2x - x^2 = x+1

0 = 3x+x^2

x(x+3)=0

son x=-3 y x=0

Y ya tenemos todos los datos para usar el método de los cascarones.

$$\begin{align}&V=2\pi\int_{x_1}^{x_2}x ·[f(x)-g(x)] dx\\&\\&V= 2\pi\int_{-3}^0x[1-2x-x^2-(x+1)]=\\&\\&2\pi\int_{-3}^0 x(-3x-x^2)dx=\\&\\&2\pi\int_{-3}^0(-3x^2-x^3)dx=\\&\\&2\pi\left[-x^3-\frac {x^4}{4}  \right]_{-3}^0= - 2\pi\left[x^3+\frac {x^4}{4}  \right]_{-3}^0=\\&\\&-2\pi\left(27-\frac {81}{4}  \right)=\\&\\&-2\pi \left(\frac{27}{4} \right) = -\frac{27\pi}{2}\\&\\&\text{el problema con los cascarones es que }\\&\text{dependiendo del intervalo de x puede salir}\\&\text{volumen negativo, pero se cambia y ya está}\\&\\&V=\frac{27\pi}{2}\end{align}$$

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