Utilizar una integral doble para calcular el área de la región limitada por las curvas
Alguien quien me pueda colaborar con esta pregunta muchas gracias¡
Utilizar una integral doble para calcular el área de la región limitada por las curvas
y=x^2, y=8-x^2
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¡Hola M.José!
Primero debemos calcular los extremos de integración, para ello calculamos la intersección de las curvas. Si ves la ecuación ya ves que son una parábola hacia arriba y otra hacia abajo, luego la región estára comprendida entre los dos puntos donde se cortan
x^2= 8 - x^2
2x^2 = 8
x^2 = 4
x=+- 2
Luego los extremos en en x son -2 y 2
Y en y son las dos funciones, para hacerlo que quede bien podemos calcular cuál es la función de abajo y la de arriba.
En x=0
la primera función es y=x^2= 0^2 = 0
la segunda es y 8-x^2 = 8-0^2 = 8-0 = 8
Luego la segunda es la superior y la pondremos como extremo superior.
$$\begin{align}&A=\int_{-2}^2\int_{x^2}^{8-x^2}dy\,dx=\\&\\&\int_{-2}^2 y\bigg|_{x^2}^{8-x^2}dx=\int_{-2}^2(8-x^2-x^2)dx=\\&\\&\int_{-2}^2(8-2x^2)dx=\left[8x-\frac{2}{3}x^3 \right]_{-2}^{2}=\\&\\&16-\frac {16}3+16-\frac {16}3=32-\frac {32}3=\frac{96-32}{3}=\frac{64}{3}\end{align}$$:
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