Anónimo
Como resolver este sistema de ecuaciones por el método de cramer
Necesito resolver el siguiente sistema de ecuaciones adjunto por el método de cramer.
¡Muchas gracias!
2 respuestas
La regla de Cramer se puede usar cuando el número de filas es igual al número de columnas y el determinante es distinto de cero, para esto voy a eliminar la última fila y ver que da el determinante. O sea que la matriz que voy a analizar es:
x - y + z = 1
4x + 5y - 5z = 4
2x + y - z = 2
La matriz que queda es
(1...-1....1
4...5...-5
2...1...-1)
Vemos que la columna 3 es la columna 2 multiplicada por -1, así que el determinante dará cero.
Pruebo eliminando del sistema original la tercer fila
x - y + z = 1
4x + 5y - 5z = 4
x + 2y + 2z = 1
Cuya matriz es
(1...-1....1
4...5...-5
1...2...2)
Acá no hay nada evidente, así que calcularé el determinante:
Det = lo desarrollo por la primer fila
Det = 1 (5*(-1) - 1*(-5)) - (-1) (4*(-1) - 2*(-5) + 1 (4*1 - 2*5) = 0
Vuelvo a la segunda ecuación y elimino la fila 2
teniendo
x - y + z = 1
2x + y - z = 2
x + 2y + 2z = 1
Cuya matriz es
(1...-1....1
2...1...-1
1...2...2)
Determinante: por la primer fila
Det = 1 (1*2 - 2*(-1)) + (2*2 - 1*(-1)) + (2*2 - 1*1) = 12 Podemos usar este "subsistema"
x = Det_X / Det
y = Det_Y / Det
z = Det_Z / Det
Det_X = reemplazo la columna X, por la columna de términos independientes
(1...-1....1
2...1...-1
1...2...2)
Det_X = en este caso es igual a Det, así que Det_X = 12
x = 12/12 = 1
Det_Y =reemplazo la columna Y, por la columna de términos independientes
(1...1....1
2...2...-1
1...1...2)
vemos que la columna 1 es igual a la 2, así que el determinante será 0
y = 0 / 12 = 0
Det_Z = reemplazo la columna Z, por la columna de términos independientes
(1...-1....1
2...1...2
1...2...1)
vemos que la columna 1 es igual a la 3, así que el determinante será 0
z = 0 / 12 = 0
Por lo tanto la solución es x=1, y=0, z=0 (si reemplazás estos valores en las ecuaciones iniciales, verás que cumple para las 4 ecuaciones)
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¡Hola Yolanda!
El método de Kramer se usa para sistemas de ecuaciones donde hay tantas ecuaciones como incógnitas, ten en cuenta que se deben usar determinantes y eso solo es posible si la matriz asociada es cuadrada.
Lo que haremos es quitar una ecuación, la segunda no me gusta nada, y solucionar las otras 3, y luego comprobaremos si la respuesta obtenida sirve para esa ecuación apartada.
x - y + z = 1
2x + y - z = 2
x + 2y + 2z =1
El determinante de la matriz de coeficientes es:
| 1 -1 1|
| 2 1 -1| = 2+1+4-1+4+2 = 12
| 1 2 2|
Y ahora para cada incógnita se cambia su columna por el vector resultado, se calcula el determinante y se divide por el 12 que es el determinante de la matriz de coeficientes.
Para x resulta que la columna de x es la misma que la del resultado, luego es el mismo determinante de antes
| 1 -1 1|
| 2 1 -1| = 12
| 1 2 2|
x = 12/12 = 1
Para y tendremos
| 1 1 1|
| 2 2 -1| = 4-1+2-2-4+1 = 0
| 1 1 2|
y = 0/12 = 0
Y para z tendremos
| 1 -1 1|
| 2 1 2| = 1-2+4-1+2-4 = 0
| 1 2 1|
z = 0/12 = 0
Luego la solución de esas tres ecuaciones es (1,0,0)
Veamos si es válida para
4x + 5y - 5z = 4
4·1 + 5·0 - 5·0 = 4
4=4
Sirve.
Luego la respuesta es
(x,y,z) = (1,0,0)
Y eso es todo, sa lu dos.
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¡Hola Valero! O sea que quitando una ecuación si que se podría resolver por cramer!
¡Muchas gracias por la explicación!
Saludos
Si, siempre que el determinante de las que quedan sea distinto de 0 y que la respuesta que se obtenga sirva para la ecuación que se apartó. Ya que si no sirviera sería un sistema incompatible.