Hallar el centroide de la región limitada por la gráfica...

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¡Hola Yuliana!

Debes concentrar en cada punto x la masa de la línea vertical para calcular la coordenada x del centro de masas, y en cada punto y la masa de la horizontal para calcular la coordenada y del centro de masas, las fórmulas son.

$$\begin{align}&x_c=\frac{\int_{x_1}^{x_2} x[f(x)-g(x)]\;dx}{\int_{x_1}^{x_2}[f(x)-g(x)]dx}\\&\\&\text{donde f(x) es la función superior y g(x) la inferior}\\&\\&y_c=\frac{\int_{y_1}^{y_2} [y·h(y)-i(x)]\;dy}{\int_{x_1}^{x_2}[f(x)-g(x)]dx}\\&\\&\text{con h(y) a la derecha de i(y) y las funciones deben}\\&\text{tomar valor x, la variable independiente es la y}\\&\\&\text{He puesto el mismo denominador en ambas que es la}\\&\text{masa, también podrías calcularlo a traves de h(y), i(y)}\\&\\&m=\int_0^{2}(x^2-0)dx=\int_0^2x^2\,dx=\frac {x^3}{3}\bigg|_0^2=\frac 83\\&\\&x_c=\frac{1}{\frac 83} \int x(x^2-0)dx=\frac 38\int_0^2x^3\,dx=\frac 38·\frac{x^4}{4}\bigg|_0^2=\frac 38·4=\frac 32\\&\\&Si \\&\\&y=x^2\\&x=\sqrt y\\&\\&y_c=\frac 38\int_0^4y(2- \sqrt y)dy=\frac 38\int_0^4\left(2y-y^{\frac 32}\right)=\\&\\&\frac 38\left[y^2-\frac{y^{\frac 52}}{\frac 52}  \right]_0^4=\frac 38\left(16-\frac 25·\sqrt{4^5}  \right)=\\&\\&\frac 38\left(16-\frac 25·2^5  \right)=\frac 38\left(16-\frac {64}5  \right)=\frac 38·\frac {16}5=\frac 65\\&\\&\text{Luego el centro de masas es:}\\&\\&\left(\frac 32,\frac 65\right)\\&\\&\end{align}$$

Saludos.

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Hola Yuliana!

$$\begin{align}&\\&\overline x=\frac{1}{A} \int_a^bxf(x)dx\\&\\&A=\int_0^2x^2dx= \frac{x^3}{3} \Bigg|_0^2=\frac{8}{3}\\&\\&\\&\overline x=\frac{3}{8} \int_0^2 x^3dx= \frac{3}{8}   \frac{x^4}{4} \Bigg |_0^2= \frac{3}{8}·\frac{16}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\\&\\&\overline y= \frac{1}{A} \int _a^b \frac{1}{2} f(x)^2dx=\frac{3}{8} \int_0^2 \frac{1}{2} x^4dx=\frac{3}{16} \frac{x^5}{5} \Bigg|_0^2=\\&\\&\frac{3}{16}· \frac{32}{5}=\frac{6}{5}\end{align}$$

saludos

;)

;)