Duda con este ejercicio sobre demostración matemática
Cómo puedo demostrar la ley de extremos y medios de la división de fracciones
1 Respuesta
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¡Hola Michael!
No sé se te refieres a que puestas una sobre otra al numerador va el producto de los extremos y al denominador el producto de los medios
$$\begin{align}&\frac{\frac ab}{\frac cd}=\frac{ad}{bc}\\&\\&\text{Y la demostración podría ser por ejemplo}\\&\text{En toda división se produce esto}\\&\\&\frac {r_1}{r_2}=d \iff r_1=d·r_2\\&\\&\text{Si lo que se divide son fracciones tenemos}\\&\\&\frac{\frac ab}{\frac cd}=\frac{ad}{bc}\iff \frac ab=\frac {ad}{bc}·\frac cd=\frac {adc}{bcd}=\frac ab\\&\\&\text{Y como se cumple el lado derecho, se cumple}\\&\text{el izquierdo, que es la ley de extremos y medios}\\&\text{en la división de fracciones}\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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Hola gracias por la respuesta pero no entiendo la demostración
Para demostrar algo hay que saber con lo que se cuenta. Si definimos la división como la operación opuesta a la multiplicación, es decir
m/n = p si y solo si m=pn
Y tenemos claro como se hace la mltiplicación, entonces podremos comprobar si la divisón la hemos hecho bien.
Entonces en el conjunto de las fracciones tenemos definida la multiplicación de esta forma:
$$\begin{align}&\frac ab·\frac cd= \frac {ab}{cd}\\&\\&\text{y diremos}\\&\\&\frac{\frac ab}{\frac cd}= \frac ef\iff \frac{a}{b}=\frac{c}{d}·\frac{e}{f}=\frac{ce}{df}\\&\\&\text{Y vamos que comprobar si se cumple la ley}\\&\\&\text{La ley dice que}\\&\\&\frac{\frac ab}{\frac cd}=\frac{ad}{bc}\\&\\&\text{Eso será verdad si se cumple}\\&\\&\frac ab = \frac cd·\frac{ad}{bc}\\&\\&\text {y si hacemos la operación}\\&\\&\frac cd·\frac{ad}{bc}=\frac{acd}{bcd}=\\&\\&\text{simplicando los factores iguales de numerador y denominador}\\&\\&=\frac ab\\&\\&\text{Luego queda demostrado que}\\&\\&\frac ab= \frac cd·\frac{ad}{bc}\\&\\&\text{y por lo tanto que}\\&\\&\frac{\frac ab}{\frac cd}=\frac{ad}{bc}\\&\end{align}$$Supongo que sabes lo que son extremos y medios, los extremos son a y d porque al poner una fracción sobre otra son los que estan arriba y abajo, mientras que b y c son los medios porque se quedan en medio.
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Y puede ser que tú no quisieras esta demostración completa, sino que sabiendo como se dividen fracciones por esa regla del producto cruzado, quieras ver que la ley esta de los extremos y medios está bien. Pues eso es muy sencillo, solo hay que comprobarlo.
Si partimos de que:
$$\begin{align}&\frac ab \div \frac cd= \frac{ad}{bc}\\&\\&\text{Vemos que coincide con lo de poner en el}\\&\text{numerador el producto de los extremos y en el}\\&\text{denominador el producto de los medios}\\&\\&\frac{\frac ab}{\frac cd}=\frac{ad}{bc}\end{align}$$Y eso es todo.
Salu_dos.
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