Anónimo
Resolver 2 ejercicios de geometría del tema elipse
Me pueden ayudar a resolver estos 2 ejercicios, es que no tengo muy claro cómo solucionarlos
1 Encontrar los puntos de intersección de la elipse x^2 + 4y^2 =1 con el eje y y con el eje x.
2.Los dos focos de una elipse tiene coordenadas F1(5, 0) y F2(-5, 0). La suma de las distancias de un punto de la elipse a cada uno de los focos es 12 unidades. Encontrar las coordenadas de los extremos de los ejes.
1 Respuesta
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¡Hola Anónimo!
1)
Es un sistema de ecuaciones muy sencillo de reolver
El eje X tiene por ecuación y=0
Luego formamos el sistema
y=0
x^2 + 4y^2 =1
y sustituyendo el valor de y de la primera en la segunda tenemos
x^2 + 4·0^2 = 1
x^2 + 0 =1
x^2 = 1
x =+- raíz(1)
Y las soluciones son x=-1, x=1
Luego los puntos de intersección con el eje X son:
(-1, 0) y (1,0)
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Con el eje Y es similar.
La ecuación del eje Y es x=0 con lo cual al sustituir en la ecuación de la elipse queda
0^2 +4y^2 = 1
4y^2 = 1
y^2 = 1/4
y=+-raiz(1/4)
las soluciones son -1/2 y 1/2
Los puntos de intersección con el eje Y son
(0, -1/2) y (0, 1/2)
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La suma de las distancias a los focos es lo que se llama 2a
2a = 12
a=6
este es el semieje mayor, luego los extremos en el eje X son
(-6,0) y (6,0)
Luego hay otra igualdad que dice
a^2 = b^2 + c^2
donde b es el semieje menor y c la semidistancia focal.
Conocemos la semidistancia focal porque es la distancia del centro de la elipse al foco.
Esta elipse tiene el centro en (0,0) eso se calcula sumando los focos y multiplicando por 1/2
(1/2)[(-5, 0) + (5, 0)] = (1/2) (0, 0) = (0, 0)
y la distancia de (0, 0) a (5, 0) es 5
Luego c=5 con lo cual tenemos
a^2 = b^2 + c^2
6^2 = b^2 + 5^2
36 = b^2 + 25
b^2 = 11
b= raíz(11)
Luego los extremos en el eje Y son
(0, -raíz(11)) y (0, raíz(11))
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