Desarrollo ejercicio de limites y continuidad
Me ayudan por favor con el siguiente ejercicio de limites
2 respuestas
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Hola cesar!
Este límite se suele hacer con la Regla de L'Hopital. Como no sé si la has dado se puede hacer a partir de un resultado conocido de los límites que dice:
$$\begin{align}&\lim_{x \to 0}\frac{senx}{x}=1\\&\\&como \ fórmula \ seno \ ángulo \ doble\\&sen(2x)=2sen(x)\cos(x)\\&\\&\lim_{\theta \to 0} \frac{sen2 \theta}{\theta}=\frac{0}{0}= \lim_{\theta \to 0} \frac{2sen \theta \cos \theta}{\theta}=\\&\\&=propiedades \ de \ los \ límites=\\&\\&=2\lim_{\theta \to 0} \frac{sen \theta}{\theta} ·\lim_{\theta \to 0} \cos(\theta)=2·1·\cos(0)=2·1·1=2\end{align}$$Si lo quieres con la Regla L'Hopital (derivadas) dimelo
Saludos
;)
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Me ayudas con la Regla de L'Hospital.
;)
Has de saber derivar.
La regla dice:
$$\begin{align}&\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0}=\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}\\&\\&\lim_{x \to 0} \frac{sen2x}{x}=\frac{sen0}{0}= \frac{0}{0}=L'Hopital(derivando)=\\&\\&\lim_{x \to 0} \frac{2cos 2x}{1}=2·cos0=2·1=2\end{align}$$saludos
;)
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Se deriva por separado, numerador y denominador
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¡Hola Cesar!
Mi experiencia es que cuando ponen este límite no se ha dado todavía la regla de l'Hôpital, y por lo tanto debes usar el límite sabido de que
$$\begin{align}&\lim_{\theta\to 0} \frac{sen\theta}{\theta}=1\\&\\&\text{Son ejercicios típicos para usar ese límite. Con lo cual:}\\&\\&\lim_{\theta\to 0} \frac{sen\,2\theta}{\theta}=\\&\\&\text{multiplicamos y dividimos por 2}\\&\\&\lim_{\theta\to 0} \frac{2\,sen\,2\theta}{2\theta}= 2·\lim_{\theta\to 0} \frac{sen\,2\theta}{2\theta}=\\&\\&\text{Cuando }\theta\to 0\implies 2\theta \to 0\\&\text{luego cambiando } \beta=2\theta \text{ tenemos}\\&\\&=2·\lim_{\beta\to 0} \frac{sen \beta}{\beta}= 2·1=2\\&\end{align}$$Por supuesto que en la realidad no se hace el cambio de variable y se ahorran todos los pasos posibles, pero esos serían todos los pasos.
El método de Lucas no está bien, pero este es más general ya que te servirá cuando sean los límites de sen(3x)/x, sen(4x)/x, etc.
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