¿Un axioma es indudable? ¿Por qué se dice que no hay verdad indudable?

Permitirme añadir algún matiz y un contraejemplo:

1.- No creo que un axioma tenga que ser necesariamente evidente. Como Gustavo apuntaba al principio, lo que llamamos "evidente" puede variar de una época a otra e incluso de unas a otras personas. Más bien, pienso que un axioma es un principio del que partimos para desarrollar un/os razonamiento/s.

2.- Tampoco pienso que no "requiere" demostración. Más bien pienso que "aceptamos" partir de ese principio sin demostrarlo. Es tan sólo un matiz, pero quizá interesante.

El contraejemplo: el quinto postulado de Euclides, a partir del cual (junto con los otros cuatro) se genera la formulación axiomática de la geometría plana, dice más o menos traducido que "dos rectas que no son paralelas se cortan en un solo punto". Puede parecer evidente (o no) si uno considera el espacio plano pero si uno considera un espacio esférico, ese postulado no se cumple. Cambiando ese postulado por otro podemos generar, además de la geometría esférica, también la geometría hiperbólica (nada intuitiva o "evidente").

En conclusión, en mi opinión:

1.- Un axioma es una proposición que "aceptamos" como principio válido y último de nuestro razonamiento.

2.- Más que no requerir demostración, yo diría que simplemente lo "aceptamos" sin demostración.

¿Y qué es "algo que sea totalmente evidente"? Si les preguntás a Aristóteles es totalmente evidente que el sol gira alrededor de la tierra o incluso podría ser evidente que la tierra es plana.

Creo que estos dos ejemplos sirven para demostrar que lo "totalmente evidente" para unos, puede no serlo para otros

Mi respuesta es que un axioma es un enunciado evidente por sí mismo, lo cual implica que no requiere demostración. La demostración que no requiere está reducida al campo o circunstancias de la aplicación de dicho axioma, por lo que un axioma no puede ser tomado como algo que rebase su aplicación lógica o matemática. Esto significa que un axioma es evidente, pero no absoluto o perteneciente a una verdad más general, lo cual significa que un axioma también puede ser objeto de duda, al considerarse que puede dejar de ser un axioma o que su más allá de su campo de aplicación no es valido.
Si se dice que no hay una verdad indubitable es porque no se considera o interpreta que exista una verdad absoluta. Si toda verdad puede ser sujeta a duda, entonces no hay una verdad inamovible, pura, y absolutamente objetiva.
"En filosofía se cuestiona todo", este argumento no es del todo correcto, hay movimientos filosóficos y filósofos que parten de un fundamento o de un principio incuestionable, por ejemplo, Descartes.
Se puede cuestionar algo que sea totalmente evidente si se considera que nada es totalmente evidente.

Observando todas las preguntas me parece observar cierta mezcla de matemáticas y filosofía lo que intentaré tratar con cautela.

Contestando a tu primera pregunta, de si un axioma es indudable la respuesta debe ser que sí puesto que esa es la principal caracteríestica que lo define. Podría decirse que el axioma es prisionero de su condición, es decir, no puede no cumplirse y por esa razón no tiene sentido dudar de él. Es importante observar que al ser una verdad primera, el ponerla en cuestión pone también en cuestión toda verdad que dependa de ella y por ende todo sistema, lo cual podría tener dos efectos, mientras en un plano creativo sería ideal, en un plano cotidiano de la vida podría resultar catastrófico.

En tu segunda pregunta sobre porqué no hay verdad indudable, no es que no la haya es que no debe haberla por principio, pues la libertad de pensamiento es fundamental para acceder a nuevos conceptos, es necesario despojarse de todo lo establecido y caer en lo absurdo para de la nada poder crear, incluso, la mayor creación lógica. Hay que considerar el hecho de que todo lo creado o establecido por el ser humano lo es bajo su propia lógica y que es su natural inclinación al dominio lo que le atribuye el carácter de único y universal. Dicho de otra manera, el ser humano no podría razonar algo que escapara a su lógica, no podría justificar y menos aún idear un sistema que su cerebro no pudiera razonar y comprender.

Los axiomas, como tantas otras cosas, son suposiciones que terminan en verdad. Esto ocurre debido a que son conceptos que se adaptan a la comprensión del cerebro humano y que pueden cumplir una función o propósito para el ser humano. Para conseguir el propósito deben cumplirse los límites o condiciones que define el axioma, que serán aquellos dentro de los cuales el axioma funciona (para nuestro entendimiento).

Por ejemplo, el axioma más evidente que podríamos proponer X=X necesita de límites o condiciones para que se cumpla. De no existir estos límites podríamos empezar por preguntarnos si la propia igualdad tal como se plantea es posible, pues X a la izquierda de la igualdad nunca podría ser igual a X a la derecha de la igualdad por el hecho de ocupar distinto lugar. Al resolver esta duda y otras llegaríamos a establecer el concepto de igualdad que estamos tratando. También limitaríamos los elementos que podrían ser sometidos a esta igualdad, lo que iría ocurriendo con el resto de posibles dudas hasta que llegaríamos a definir el axioma.

Los axiomas resulven situaciones prácticas pero el ser humano tiene otras necesidades para las que no hay axiomas lo que le obliga a aprender a vivir con la falta de respuestas para lo que no sabe aunque se lo pregunte, eso es la filosofía.