Demostrar que la función es uniformemente continua
Me dan la función:
f(x) = 1/(1+x^2)
Demostrar que f es uniformemente continua en todos los reales.
Hago lo siguiente:
Dada e>0, debo buscar d > 0 tal que si |x - y|< d entonces:
|1/(1+x^2) - 1/(1+y^2| < e
Como |1/(1+x^2) - 1/(1+y^2| = |x-y||x+y| / (x^2+1)(y^2+1) < |x-y||x+y|
Y en este punto ya no se cómo acotar |x+y| ¿?
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¡Hola Ninel!
Es que |x+y| no tiene cota
No debías haber quitado los denominadores, lo que debes intentar acotar es la función
|x+y| / [(x^2+1)(y^2+1)] = |x+y| / [(xy)^2+x^2+y^2+1]
Si |x|,|y| > 1 entonces x^2>|x|, y^2> |y|
El denominador es claramente mayor que el numerador y la cota es 1
Si |x|, |y| < 1 el numerador valdrá como mucho 2 y el denominador siempre mas de 1, luego tendrás cota 2.
Y queda el caso que un módulo sea menor que 1 y el otro mayor. El que sea menor que 1 será menor que el 1 del denominador y el que sea mayor que uno menor que su cuadrado del denominador, luego el denominador será mayor y la cota será 1
Luego la función |x+y| / [(x^2+1)(y^2+1)] está acotada por 2 ( o incluso por menos, pero con eso nos vale.
Y eso es todo, lo que he dicho ponlo con un poco más de rigor.
Saludos.
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Hola!
Muchas gracias. Clarísimo!! Ya me quedó bien.
Profesor, gusto en volver a saludarte. Como dejé de entrar mucho tiempo, cuando quise volver a entrar ya no reconocía mi clave, o la olvidé y puse otra. Tuve que volver a registrarme.
¡Saludos!
