Dada el área y la diagonal de un triángulo rectángulo, calcular catetos
Amigos del foro quiero me revisen el siguiente ejercicio, hasta donde lo hice
Para saber si es correcto como lo he planteado.
2 respuestas
Si bien llego a una bicuadrática, creo que los coeficientes no son los mismos.
Lo primero que voy a hacer es usar las mismas letras en ambas ecuaciones (acá creo que es donde te falló algo)
$$\begin{align}&Tenemos\ que:\\&A = \frac{b\cdot c}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow bc = 1\\&h = \sqrt{\frac{17}{2}} \to h^2 = \frac{17}{2} = b^2+c^2\\&\text{Lo que nos deja dos ecuaciones con dos incógnitas}\\&bc = 1 \to b = \frac{1}{c}\\&b^2+c^2 = \frac{17}{2} \to \frac{1}{c^2} + c^2 = \frac{17}{2}\\&\frac{1+c^4}{c^2} = \frac{17}{2}\\&{1+c^4} = \frac{17}{2}c^2\\&c^4 - \frac{17}{2}c^2+1=0\end{align}$$La dejo acá porque es hasta donde llegaste y lo que querías verificar, cualquier cosa comenta y lo terminamos.
¡Gracias! por tu colaboración como siempre, Omar pero quiero llegar al resultado final,lo que voy a hacer es enviarte el resultado final desdffe donde yo llegue y tu lo corriges.
Estimado Omar te envío el resultado al que yo llegue, tu corriges si esta bien :
Ok, sigamos desde donde quedamos entonces (creo que al inicio de lo que vos planteaste, tenés un tema de signos)
$$\begin{align}&c^4-\frac{17}{2}c^2+1=0\\&Sea\ d = c^2\\&d^2-\frac{17}{2}d+1=0\\&d_{1,2} = \frac{-(\frac{-17}{2})\pm \sqrt{(\frac{-17}{2})^2-4\cdot 1 \cdot 1}}{2\cdot 1}=\\&\frac{\frac{17}{2} \pm \sqrt{\frac{289}{4}-4}}{2}=\\&\frac{\frac{17}{2} \pm \sqrt{\frac{273}{4}}}{2}=\\&\frac{\frac{17}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{273}}{2}=\\&\frac{17 \pm \sqrt{273}}{4}\\&\text{Estos son los valores de "d", recordá que en realidad estamos buscando a b, c; por lo tanto}\\&c = \pm \sqrt{\frac{17 \pm \sqrt{273}}{4}} \text{ (esto da cuatro valores posibles, y además tenemos que}\\&b = \frac{\pm1}{\sqrt{\frac{17 \pm \sqrt{273}}{4}}}\end{align}$$Te lo dejé así porque en estos casos no me gusta calcular con decimales ya que las cifras no son exactas, pero esto ya va en gustos o como te estén pidiendo los resultados.
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¡Hola Hfarias!
Si estás llamando b y c a los catetos, entonces el área del triángulo será
A = bc/2
como
A = 1/2
bc/2 = 1/2
bc=1
Y ahora usas el teorema de Pitagoras
$$\begin{align}&b^2 +c^2 = a^2\\&\\&b^2 + c^2 = \frac{17}{2}\\&\\&\text{sustituyes uno de los catetos}\\&\\&bc=1\implies b=\frac 1c\\&\\&\frac 1{c^2}+c^2 = \frac {17}2\\&\\&1 + c^4 = \frac{17}{2}c^2\\&\\&2+2c^4= 17c^2\\&\\&2c^4-17c^2+2=0\\&\\&\text{Es una bicuadrada, llamando } d=c^2\\&\text{tendremos una cuadrática normal}\\&\\&2d^2- 17d + 2 = 0\\&\\&d=\frac{17\pm \sqrt{17^2-16}}{4}=\frac{17\pm \sqrt{273}}{4}\\&\\&\text{Y c como es positivo será}\\&\\&c= \sqrt{\frac{17\pm \sqrt{273}}{4}}\\&\\&\text{Esto da dos soluciones, pero una es para}\\&\text{b y otra para c y viceversa. Luego puedes poner}\\&\\&b= \frac{\sqrt{17+ \sqrt{273}}}{2}\\&\\&c= \frac{\sqrt{17- \sqrt{273}}}{2}\\&\\&\text {o lo contrario}\\&\\&\text{verificamos que bc=1}\\&\\&bc= \frac{\sqrt{17^2-273}}{4}= \frac {\sqrt{16}}{4}=1\\&\\&\text{y que }b^2+c^2 = \frac {17}2\\&\\&\frac{17+ \sqrt{273}}{4}+\frac{17- \sqrt{273}}{4}=\frac{34}{4}= \frac{17}2\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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