Una empresa desea construir su oficina rectangular de 300m2 de área en un lote baldío de 30 x 60m.

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¡Hola Diana!

Sean x, y la base y altura del rectángulo.

Debe ser xy = 300

Y queremos minimizar la función perimetro

p(x,y) = 2x+2y = 2(x+y)

Si despejamos y en la igualdad de arriba tendremos

y=300/x

y sustituyendo la función p ya solo dependerá de x

$$\begin{align}&p(x) = 2\left(x+\frac {300}{x}\right)\\&\\&\text{derivamos e igulamos a 0}\\&\\&p'(x)=2\left(1-\frac {300}{x^2}  \right)=0\\&\\&1=\frac {300}{x^2}\\&\\&x^2=300\\&\\&x= \sqrt {300}=10 \sqrt 3\\&\\&y=\frac{300}{\sqrt {300}}= \sqrt{300}= 10 \sqrt 3\\&\\&\text{necesitamos saber la longitud de los lados}\\&\\&x=y= 10 \sqrt 3\approx 17.3205\,m\end{align}$$

Nos ha quedado el típico cuadrado que ya sabía que saldría porque ninguna de las dos variables era más bonita que la otra, jugaban idéntico papel.

Y no hay ningún problema, ese cuadrado cabe perfectamente dentro del lote baldío luego esa es la forma y medidas que debe tener la oficina.

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