Triángulo rectángulo de lados enteros,conociendo área de la misma medida que el perímetro.
El problema dice lo siguiente : El Perímetro de un triángulo rectángulo mide 30 m y área 30 m2.
¿Calcular la longitud de los catetos ¿
Los datos que me da es que dice que el sistema :, esto seria el área,(1).
Y la otra formula que me da es, esto seria el Perímetro,(2).
Los resultados que da el problema es de (x = 5 e y = 12 ) ó ( x = 12 e y =5 ).
Averiguando en la web me encuentro que esto pertenece sobre triángulos de Lados Enteros,
Y que se forman con números primos. ¿Para mi una novedad ¿.
Pregunta se podría hacer con un sistema de ecuaciones con dos incógnitas y como seria la misma.
Acompaño un dibujo del triángulo hecho por mi, ya que en el problema no existe el dibujo del mismo.
Perdon pero tengo un problema con mi logeo y no me deja insertar el archivo.
2 Respuestas
;)
;)
Hola hfarias!
Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, no lineal.
$$\begin{align}&catetos : \ x ,y\\&hipotenusa:z\\&Perímetro:\\&x+y+z=30 (*)\\&\\&Area:\frac{x·y}{2}=30 \Rightarrow xy=60(**)\\&\\&Pitágoras:\\&x^2+y^2=z^2(***)\\&(*)x=30-y-z\\&sustituyendo \ (**):\\&(30-y-z)y=60\\&30y-y^2-zy=60\\&Despejando \ z\\&zy=30y-y^2-60\\&z=30-y- \frac{60}{y}\\&\\&De (**):\\&x=\frac{60}{y}\\&\\&Sustituyendo \ estas \ dos \ últimas \ expresiones \ en (***)\\&\\&\Big(\frac{60}{y} \Big)^2+y^2=(30-y- \frac{60}{y})^2\\&\\&\frac{3600}{y^2}+y^2=(30-y-\frac{60}{y})·(30-y-\frac{60}{y})\\&\\&\frac{3600}{y^2}+y^2=900-300y-\frac{1800}{y}-30y+y^2+60-\frac{1800}{y}+60+\frac{1800}{y}\\&\\&0=1020-60y-\frac{3600}{y}\\&\\&Multiplicandola \ por \ y\\&0=1020y-60y^2-3600\\&\\&60y^2-1020y+3600=0\\&simplificándola \ por \ 60\\&\\&y^2-17y+60=0\\&\\&x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{17 \ \pm \sqrt {17^2-240}}{2}=\frac{17 \ \pm \sqrt {49}}{2}=\\&\\&\frac{17 \ \pm 7}{2}=\\&\\&y_1=12 \Rightarrow x_1=\frac{60}{12}=5\\&\\&y_2=5 \Rightarrow x_2=12\\&\end{align}$$Catetos de 12 m i 5m
Hipotenusa 13m
Saludos
;)
;)
;)
Ojo! Errata al copiar
En la multiplicación de los dos paréntesis largos de y, la última fracción de todas es
$$\begin{align}&\frac{3600}{y^2}\\&\\&\\&en \ lugar \ de \ \frac{1800}{y}\end{align}$$;)
;)
;)
Que se elimina con la misma que hay en el primer miembro
;)
;)
·
·
¡Hola Hfarias!
Llamaré a y b a los catetos y c a la hipotenusa
El sistema de ecuaciones sería este:
$$\begin{align}&1) \quad a +b +c = 30\\&2)\quad \frac {ab}2=30\implies ab=60\\&3)\quad a^2+b^2=c^2\\&\\&\text{Y esto no tiene normas}\\&\\&a+b = 30-c\\&\\&\text{elevo al cuadrado}\\&a^2+b^2+2ab= 900 - 60c +c^2\\&\\&\text{de la 3 tomo el valor de } a^2+b^2=c^2\\&\text{y de la segunda el valor }ab=15\\&\text{sustituyo ambos en la ecuación}\\&\\&c^2+2·60= 900 - 60c +c^2\\&\\&60c =900-120 = 780\\&\\&c= \frac{780}{60}= 13\\&\\&\text{Ahora nos quedamos con las ecuaciones}\\&ab=60\\&a+b=30-c\implies b=30-13-a=17-a\\&a(17-a)=60\\&\\&17a -a^2=60\\&\\&a^2-17a+60=0\\&\\&a=\frac{17\pm \sqrt{17^2-240}}{2}=\frac{17\pm 7}2= 5 \; y\; 12\\&\end{align}$$Y esas son las dos respuestas para los catetos que son intercambiables
Luego la solución es:
Catetos 5m y 12m
Hipotenusa 13m
Saludos.
:
:
Ya sabía que no lo había cambiado todo del error que tuve.
Donde dice
y de la segunda el valor ab=15
debe decir
y de la segunda el valor ab=60
Lo demás está bien.
Que apunte se podría bajar de la web con ejercicios de este tipo resueltos, ya que lo que se encuentran son muy complejos.
Gracias por responder nuevamente.
Sobre ecuaciones lineales tendrías mil sitios donde encontrar información. Pero sobre ecuaciones no lineales no tanto. Es por lo que te dije, no hay un método fijo. El méodo de sustitución podría funcionar siempre a lo mejor pero puede hacerse muy complicado. Entonces las ocurrencias que puedas tener como la que hice yo te salvan la vida. Lo que hice fue sustitución pero no solo de una variable sino de expresiones completas por otras.
A veces lo que se hace es dividir ecuaciones entre sí. Lo que digo que no hay un sistema fijo.
Aquí tienes algunos ejercicios pero q lo mejor son muy sencillos:
http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/n_e.html
Yo no aprendí en ningún sitio, si que salían algunas veces en cualquier sitio y conforme las veías te las ingeniabas. Busca "sistemas de ecuaciones no lineales" y mira a ver si ves algo que te sirva.
Saludos.
:
: