Geometria analitica teórica sobre baricentro
Demostrar que el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.
1 respuesta
;)
Hola Juana!
Se demuestra utilizando el Teorema de Thales:
Aunque como estas en geometría analítica, en lugar de segmentos podemos hablar de vectores.
Sea el triángulo ABC:
El teorema del baricentro con vectores diría : AG=2GM
Para demostrar esto he dibujado los puntos medios M, N y P y he trazado dos medianas la de A y la de C.
Por M he dibujado una paralela a CN obteniendo el punto R. Los triángulos CNB y MRB son semejantes y de razón 1/2 ya que MB=1/2 CB lo cual implica que NR=RB.
Ahora por P trazo otra paralela a CN obteniendo el punto Q. Los triángulos APQ y ACN también son semejantes y de razón 1/2 (ya que AP=PQ) lo cual implica que AQ=QN
Tenemos por tanto la base dividida en 4 trozos. Estos 4 trozos son iguales,ya que si N es el punto medio de la base, y NR=RQ; la otra mitad (AN) que también esta dividida en dos trozos iguales AQ=QN=NR=RB
Los triángulos AGN y AMR tambien son semejantes de razón :
$$\begin{align}&\frac{AN}{AR}=\frac{2}{3}=\frac{AG}{AM}\\&\\&Luego:\\&AG=\frac{2}{3}AM\\&\\&\Rightarrow\\&\\&GM=\frac{1}{3}AM\\&\\&Luego\\&\\&AG=2·GM\\&\\&c.q.d.\\&\\&\end{align}$$Saludos
;)
;)
¡Gracias! Este me cuesta mucho... entenderlo.. no veo bien la equivalencia entre triángulos
;)
Los triángulos semejantes tienen los ángulos iguales, y en este caso se ven fácilmente porque los lados son paralelos dos a dos.
Cuando dos triángulos son semejantes lo único que has de saber ( y que es consecuencia del Teorema de Tales) que si un lado es la mitad de otro ===> los otros dos lados también serán cada uno mitad de su homólogo.
Si un lado es 1/3 de otro; los otros dos lados mantendrán lamisma relación.
;)
;)
