Calculo medianas y bario entro de un triangulo

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Hola Juana!

La mediana es la recta que va desde un vértice al punto medio del lado opuesto.

Calculemos primero los puntos medios de cada lado con la fórmula del Punto Medio:

$$\begin{align}&puntoMedio AB:\\&D=\frac{A+B}{2}=\Big(\frac{-3+2}{2},\frac{7+(-1)}{2} \Big)=(\frac{-1}{2},3)\\&\\&puntoMedioBC:\\&F=\frac{B+C}{2}= \Big(\frac{2+(-8)}{2} , \frac{-1+(-3)}{2} \Big)=(-3,-2)\\&\\&puntoMedioCD:\\&E=\frac{C+A}{2}= \Big(\frac{-11}{2},2 \Big)\\&\\&Medianas (\ ecuación \ continua \ de \ la \ r ecta):\\&\\&\frac{x-x_o}{v_1}=\frac{y-y_o}{v_2}\\&\\&MedianadeA:\\&\vec{AF}=F-A=(-3,-2)-(-3,7)=(0,-9) \ vertical \Rightarrow x=-3\\&\\&MedianadeB:\\&\vec{BE}=E-B=(\frac{-11}{2},2)-(2,-1)=(\frac{-15}{2},3) \\&cojo \ vector \ dirección \ 2· \vec{BE}=(-15,6) \Rightarrow \frac{1}{3} \Rightarrow(-5,2)\\&\\&\frac{x-2}{-5}=\frac{y+1}{2} \Rightarrow2x-4=-5y-5 \Rightarrow2x+5y+1=0\\&\\&medianadeC:\\&\vec{CD}=D-C=(\frac{-1}{2},3)-(-8,-3)=(\frac{15}{2},6)\Rightarrow(15,12)\Rightarrow(5,4)\\&\\&\frac{x+8}{5}=\frac{y+3}{4} \Rightarrow 4x+32=5y+15 \Rightarrow4x-5y+17=0\\&\\&\\&El \  baricentro   \ G \ es \ el \ punto \ de \ corte \ de \ las \ medianas:\\&x=-3\\&2x+5y+1=0\\&Resolviendo \ Sistema:\\&2(-3)+5y+1=0\\&5y=5\\&y=1 \Rightarrow G=(-3,1)\\&\\&\\&distGA= \Big|  \vec{GA} \Big|=\sqrt{0^2+6^2}=6\\&\vec{GA}=A-G=(-3,7)-(-3,1)=(0,6)\\&\\&distGF=\Big | \vec{GF} \Big|=\sqrt{0+3^2}=3\\&\vec{GF}=F-G=(-3,-2)-(-3,1)=(0,-3)\\&\Big| \vec{GA} \Big|=2·\Big| \vec{GF} \Big|\\&(c.q.d)\end{align}$$

c.q.d. (como queríamos demostrar)

Recuerda que cuando utilices la ecuación contínua de una recta necesitas un punto y un vector de dirección. Si tienes dos puntos puedes coger el que quieras, Restando dos puntos tienes las coordenadas del vector de dirección. Recuerda también que si multiplicas o divides las componentes de un vector por un número (múltiplos de un vector) estos no cambian de dirección.

El baricentro es el punto de corte de las tres medianas. Puedes calcularlo utilizando las dos que quieras.

Saludos

;)

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¡Hola Juana!

Las medianas son las rectas que van desde un vértice a la mitad del lado opuesto. Las tres se cortan en un punto que es el baricentro del triángulo suponiendo que tenga densidad constante.

A(-3,7) B(2,-1)yC(-8,-3)

La primera va desde el punto A al punto medio de BC

Punto medio de BC = (1/2)[(2,-1)+(-8,-3)] = (1/2)(-6,-4) = (-3,-2)

mediana: (-3,7)+t[(-3,-2)-(-3,7)] = (-3, 7-9t)

Esto es la recta

x=-3

La segunda va de B al punto medio de AC

Punto medio de AC = (1/2)[(-3,7)+(-8,-3)]=(1/2)(-11,4) = (-11/2,2)

mediana: (2,-1)+t[(-11/2,2)-(2,-1)] = (2-15t/2, -1+3t)

Es la recta

x=2-15t/2

y=-1+3t

La tercera va de C al punto medio de AB

Punto medio de AB = (1/2)[(-3,7)+(2,-1)]=(1/2)(-1,6) = (-1/2, 3)

mediana: (-3,7)+t[(-1/2,3)-(-3,7)]=(-3+5t/2, 7-4t)

Es la recta

x=-3+5t/2

y=7-4t

Y el baricentro será

Tomamos x=-3 de la primera mediana y vamos a la segunda

x=2-15t/2

-3 = 2 - 15t/2

15t/2 = 5

t = 10/15 = 2/3

y ahora vamos a la coordenada y

y=-1+3t = -1 +3(2/3) = -1 + 2 = 1

Luego el baricentro es

(-3, 1)

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La distancia de A al baricentro es:

$$\begin{align}&d(A,G)=\sqrt{[-3-(-3)]^2+[7-1]^2}=6\\&\\&d(G,D) =\sqrt{(-3+3)^2+(1+2)^2}=3\end{align}$$

Luego es le doble como decían.

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