Como deducir los valores de cos y sen?

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¡Hola Sia!

La forma polar tiene el módulo que se calcula con la típica operación de la raíz cuadrada de la suma de cuadrados y el ángulo que se calcula con el arcotangente de la parte imaginaria entre la real a la que hay que sumar 180º (pi) si el número esta en el segundo o tercer cuadrante.

$$\begin{align}&2i = 2_{\frac\pi 2}\\&\\&1-i=\sqrt 2_{\frac {7\pi}4}\\&\\&3+\sqrt 3 i = \sqrt{12}_{\frac \pi 6}=2 \sqrt 3_{\frac \pi 6}\\&\\&A=\frac{2i(1-i)}{3+i \sqrt 3}=\frac{2 \sqrt 2}{2 \sqrt 3}_{\frac \pi 2+\frac{7\pi}{4}-\frac \pi 6}=\frac{\sqrt 6}{3}_{\frac{25\pi}{12}}=\frac{\sqrt 6}{3}_{\frac{\pi}{12}}\\&\\&\text{En forma binómica es}\\&\\&\frac{\sqrt 6}{3}\left(\cos \frac{\pi}{12}+i·sen \frac{\pi}{12}\right)\\&\\&\text{Pero por la pregunta que hacen después veo}\\&\text{que quieren que la calcules exacta}\\&\\&A=\frac{2i(1-i)}{3+i \sqrt 3}=\frac{2i+2}{3+i \sqrt 3}=\frac{(2i+2)(3-i \sqrt 3)}{9+3}=\\&\\&\frac{6i+2 \sqrt 3+6-2 \sqrt 3 i}{12}=\frac{\sqrt 3+3}{6}+i·\frac{3-\sqrt 3}{6}\\&\\&\text{Como deben ser iguales}\\&\\&\frac{\sqrt 6}{3}·\cos \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt 3+3}{6}\\&\\&\cos \frac{\pi}{12}=\frac{3 \sqrt 3+9}{6 \sqrt 6}=\frac{3 \sqrt {18}+9 \sqrt 6}{36}=\frac{\sqrt 2+\sqrt 6}{4}\\&\\&\\&\frac{\sqrt 6}{3}·\cos \frac{\pi}{12}=\frac{3-\sqrt 3}{6}\\&\\&sen \frac{\pi}{12}=\frac{9-3 \sqrt 3}{6 \sqrt 6}=\frac{ 9 \sqrt 6 -3 \sqrt {18}}{36}=\frac{\sqrt 6-\sqrt 2}{4}\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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