Calcular el valor promedio de la función identidad en el intervalo [-1,2].

$$\begin{align}&∫x\\&\\&\\&\end{align}$$

a)Calcular el valor promedio de la función identidad en el intervalo [-1,2].

b)Determinar el valor de x en el que se obtiene el valor promedio.

c)Interpretar geométricamente los resultados.

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Respuesta
1

;)

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Hola Esteban:

El valor promedio de una función en un intervalo [a,b] con integrales es:

$$\begin{align}&\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx=\frac{1}{2-(-1)} \int_{-1}^2xdx=\frac{1}{3} \Big [\frac{x^2}{2} \Big]_{-1}^2=\\&\\&=\frac{1}{6} \Big[2^2-(-1)^2 \Big]=\frac{1}{6}3=\frac{1}{2}\\&\\&b)\\&y=x \Rightarrow x=y=\frac{1}{2}\end{align}$$

c) El área del triángulo ABC es igual  al área del triángulo CDE

Saludos

;)

;)

Respuesta
1

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¡Hola Esteban!

El valor promedio se calcula como el cociente entre la integral definida y la longitud del intervalo.

$$\begin{align}&\mu=\frac{\int_a^b f(x)\; dx}{b-a}=\frac 1{b-a}\int_a^b f(x)\;dx\\&\\&\mu= \frac{1}{2-(-1)}\int_{-1}^2x\;dx= \frac 13·\frac{x^2}{2}\bigg|_{-1}^2=\\&\\&=\frac 16 ·x^2\bigg|_{-1}^2=\frac 16\left(4-1  \right)=\frac 36=\frac 12\\&\\&\\&b) \\&\\&f(x)=\frac 12\implies x=\frac 12\\&\\&\text{y ya está, así de sencillo era}\end{align}$$

La interpretación geométrica es que las áreas entre la función f(x) y la recta y=valor promedio son las mismas por arriba que por abajo.

En este caso concreto el área por debajo es un triángulo y la superior otro triángulo, ambos tienen la misma área.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así, pregúntame. Y si ya está bien, no olvides valorar las respuestas que te hemos dado.

Saludos.

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