Análisis combinatorio: ¿De cuántas maneras se puede tomar un...
¿De cuántas maneras se puede tomar un número impar de objetos, de un conjunto de n! Objetos?
1 Respuesta
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Habra que sumar las combinaciones tomadas de un numero impar.
Si son 7 por ejemplo
C(7,1) + C(7,3) + C(7,5) + C(7,7)
Habrá que tomar dos casos:
i) Si n es impar
Pongamos por ejemplo n=3, los números combinatorios n sobre i desde i=0 hasta 3 son
1 3 3 1
tomaríamos el 3 de C(3,1) y el 1 de C(3,3)
En realidad se toma siempre la mitad, ya que si usamos la propiedad
C(n, i) = C(n, n-i) tenemos que los sumandos
C(n,n) = C(n,0)
C(n,1)
C(n,n-2) = C(n,2)
C(n, 3)
C(n, n-4) = C(n,4)
....
C(n, (n-1)/2)
El número de sumandos es (n-1)/2 + 1 = (n+1)/2 que coincide con los que tienen que ser.
Luego hemos tomado la mitad de los sumandos primeros, que suman lo mismo que la otra mitad.
Y sabemos que la suma de todas las combinaciones es 2^n, luego la mitad es 2^(n-1)
Esas son las combinaciones impares cuando n es impar. Por cierto, serían las mismas que las pares.
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ii) Si n es par.
Veamos por ejemplo n=4
1 4 6 4 1
y los que se toman son C(4,1)=4 y C(4,3)=4
Pues este no lo sé hacer. No sé si habréis estudiado algo o hecho algún ejercicio que predisponga el cálculo, pero yo no sé ninguna fórmula para hacerlo.
Saludos.
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Aunque no sé resolverlo ni demostrarlo, sé que las combinaciones impares para n par son 2^(n-1), lo mismo que cuando n es impar.
Así que la respuesta a la pregunta es 2^(n-1) en todos los casos.
Y digo que no se resolverlo ni demostrarlo para n par, pero es que todas veces sale eso:
1 2 1 ----> 2 =2^(2-1)
1 4 6 4 1 ----> 4+4 = 8 = 2^(4-1)
1 6 15 20 15 6 1 ---> 6+20+6 = 32 = 2(6-1)
1 8 28 56 70 56 28 8 1 --> 8+56+56+8 = 128 = 2^(8-1)
