Análisis combinatorio: ¿De cuántas maneras se puede tomar un...

¿De cuántas maneras se puede tomar un número impar de objetos, de un conjunto de n! Objetos?

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Habra que sumar las combinaciones tomadas de un numero impar.

Si son 7 por ejemplo

C(7,1) + C(7,3) + C(7,5) + C(7,7)

Habrá que tomar dos casos:

i) Si n es impar

Pongamos por ejemplo n=3, los números combinatorios n sobre i desde i=0 hasta 3 son

1  3  3  1

tomaríamos el 3 de C(3,1) y el 1 de C(3,3)

En realidad se toma siempre la mitad, ya que si usamos la propiedad

C(n, i) = C(n, n-i) tenemos que los sumandos

C(n,n) = C(n,0)

C(n,1)

C(n,n-2) = C(n,2)

C(n, 3)

C(n, n-4) = C(n,4)

....

C(n, (n-1)/2)

El número de sumandos es (n-1)/2 + 1 = (n+1)/2 que coincide con los que tienen que ser.

Luego hemos tomado la mitad de los sumandos primeros, que suman lo mismo que la otra mitad.

Y sabemos que la suma de todas las combinaciones es 2^n, luego la mitad es 2^(n-1)

Esas son las combinaciones impares cuando n es impar. Por cierto, serían las mismas que las pares.

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ii)  Si n es par.

Veamos por ejemplo n=4

1   4   6  4   1

y los que se toman son C(4,1)=4 y C(4,3)=4

Pues este no lo sé hacer. No sé si habréis estudiado algo o hecho algún ejercicio que predisponga el cálculo, pero yo no sé ninguna fórmula para hacerlo.

Saludos.

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Aunque no sé resolverlo ni demostrarlo, sé que las combinaciones impares para n par son 2^(n-1), lo mismo que cuando n es impar.

Así que la respuesta a la pregunta es 2^(n-1) en todos los casos.

Y digo que no se resolverlo ni demostrarlo para n par, pero es que todas veces sale eso:

1  2  1  ----> 2 =2^(2-1)

1  4  6  4  1 ---->  4+4 = 8 = 2^(4-1)

1  6  15  20  15  6  1  ---> 6+20+6 = 32 = 2(6-1)

1  8  28  56  70  56  28  8  1  --> 8+56+56+8 = 128 = 2^(8-1)

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