Resolver la siguiente ecuación de grado 3
¿Cuáles son los coeficientes ( a, b, c y de ), de la función ( x^3 + bx^2 + cx + de ) cuya gráfica es?.
Acompaño imagen de la misma, pero hago la salvedad que en el dibujo del gráfico que esta en el apunte, no se si los valores están correctos, especialmente el que esta entre ( 2,5 y 5 ) en el eje vertical positivo.
Gracias y espero respuesta.
2 Respuestas
Creo que te faltó poner "a" en el primer factor, así que el cubo sería
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
De la imagen se ve que tiene una raíz en -1 y otra raíz en 2, además tiene un mínimo local en x=2 y un máximo local en x=0 (que según lo que veo en el gráfico voy a considerar que la función en ese punto vale 4).
Veamos si podemos juntar todo lo que tenemos
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
f'(2) = 0 = 12a + 4b + c
f'(0) = 0 = c
Por otro lado tenemos 2 raíces, así que también podríamos escribir el polinomio como:
f(x) = a (x + 1) (x - 2) (x - r) = ax^3 - (r+1) ax^2 + (r-2) ax + 2ar
Juntando esto con el hecho que c=0, podemos deducir que
(r-2) a = 0
Un producto es cero si alguno de los factores lo son, por lo tanto
a = 0. Absurdo, pues entonces el polinomio no sería de grado 3
r-2 = 0. Entonces r = 2 es la otra raíz que faltaba,
f(x) = a (x + 1) (x - 2) (x - 2) = ax^3 - 3ax^2 + 4a
Queda hallar el valor de a, para esto voy volver a derivar
f'(x) = 3ax^2 - 6ax
f'(2) = 0 = 12a - 12a (no sirve, pues no se deduce nada)
Y acá me quedé trabado pues no encuentro que otra cosa usar para despejar a, así que creo puede ser que sirva cualquier valor de a, y que por eso tu expresión original estaba bien (y por eso consideraban que a=1)
¡Gracias! Omar efectivamente a = 1. puede ser que me halla olvidado de poner la "a" en la ecuación,pero también el dibujo del apunte no ayuda,porque le faltan medidas en los ejes.
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¡Hola Hfarias!
Hablas del coeficiente a pero este no aparece, lo pondremos en x^3. Y luego el dibujo no está bien del todo, pero se supone que en x=2 la curva es tangente al eje X, lo cual significa que la raíz x=2 es doble al menos.
Entonces tendremos que
$$\begin{align}&ax^3+bx^2+cx+d = a(x+1)(x-2)^2 =\\&\\&a(x+1)(x^2-4x+4) =\\&\\&ax^3-4ax^2+4ax+ax^2-4ax+4a=\\&\\&ax^3-3ax^2+4a\\&\\&\text{de donde}\\&\\&a=a\\&b=-3a\\&c=0\\&d=4a\\&\\&\text{Y solo falta calcular a, para ello sabemos}\\&\text{que en x=0 el polinomio vale 4}\\&\\&4=p(0)=a·0^3+b·0^2+c·0+d = d \\&\\&luego\\&d=4\\&\\&como\; d=4a\implies 4a=4\implies a=1\\&\\&\text{Y la solución es:}\\&\\&a=1\\&b=-3\\&c=0\\&d=4\end{align}$$Y eso es todo. También se podría haber empezado calculando d pero es lo mismo. Lo fundamental es saber que si en una raíz el polinomio es tangente al eje X la raíz es de orden 2 al menos.
Saludos.
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¡Gracias! Valero, aclare que el dibujo lo hice en word, pero debería haberlo escaneado y luego pasarlo a un archivo de imagen, pero no variaba en nada porque en el gráfico del apunte no dice la medida del eje ( por )positivo y tampoco el resultado final.