Calcular dos números complejos cuya suma es un numero real, su diferencia tiene por parte real -1 y su producto vale 15+3i

Consideramos los números complejos

$$\begin{align}&a+bi \\&\end{align}$$

y

$$\begin{align}&c+di\\&\end{align}$$

La suma de estos números es

$$\begin{align}&(a+bi)+(c+di)=(a+c)+i(b+d)\end{align}$$

Como nos dice que su suma es un número real, eso implica que la parte imaginaria de la suma es cero, es decir

$$\begin{align}&b+d=0\\&\end{align}$$

Ahora hacemos la resta de estos números

$$\begin{align}&(a+bi)-(c+di)=(a-c)+i(b-d)\end{align}$$

Otra de las condiciones nos dice que su diferencia tiene por parte real -1, por lo tanto

$$\begin{align}&a-c=-1\end{align}$$

Por último multiplicamos los números e igualamos su resultado a 15+3i

$$\begin{align}&(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+i(ad+bc)=15+3i\\&ac-bd=15\\&ad+bc=3\end{align}$$

Ahora ya se tienen cuatro ecuaciones en función de a, b,c,d, se resuelven y con los valores que se obtienen ya se tienen los números buscados.

Para que la suma de dos complejos de un real, entonces tienen que ser complejos conjugados, o sea

$$\begin{align}&z_1 = \alpha + \beta i\\&z_2 = \gamma - \beta i\\&\text{ de modo que}\\&z_1 + z_2 = \alpha + \gamma \ (\in R)\\&z_1 - z_2 = (\alpha - \gamma) + 2 \beta i = -1 + 2 \beta i\\&z_1 \cdot z_2 = (\alpha + \beta i) \cdot (\gamma - \beta i) = 15 + 3i\\&(\alpha + \beta i) \cdot (\gamma - \beta i) = \alpha \gamma - \alpha \beta i + \beta \gamma i + \beta ^2 = 15 + 3i\\&\text{De todo lo anterior tenemos}\\&\alpha - \gamma = -1......(1)\\&\alpha \gamma + \beta ^2=15.....(2)\\&\beta \gamma - \alpha \beta = 3....(3)\\&\text{Tenemos un sistema de 3 ecuaciones y 3 incognitas, así que debe ser posible resolverlo (aunque puede ser laborioso ya que el sistema no es lineal)}\\&De\ (1)\ \gamma = \alpha + 1\\&Reemplazo \ en\ (2) \ y \ en \ (3)\\&\alpha(\alpha+1) + \beta^2=15 \to \alpha ^2 + \alpha + \beta ^2 = 15...(4)\\&\beta(\alpha+1) - \alpha \beta = 3 \to \alpha \beta + \beta - \alpha \beta=3 \to \beta =3...(5)\\&Reemplazo \ (5) \ en \ (4)\\&\alpha ^2 + \alpha + 3 ^2 = 15\\&\alpha ^2 + \alpha -6 = 0\\&\text{Planteo la cuadrática}\\&\alpha _1=2 \to \gamma = 3\\&\alpha _2=-3 \to \gamma = -2\\&\therefore\\&Solución \ 1: (\alpha, \beta, \gamma) = (2,3,3) \to\\&z_1 = 2 + 3i\\&z_2 = 3 - 3i\\&\\&Solución \ 2: (\alpha, \beta, \gamma) = (-3,3,-2)\\&z_1=-3+3i\\&z_2 = -2 - 3i\end{align}$$

Ya lo revisé y cumple todas las condiciones pedidas, pero valídalo así te sacás la duda y practicas un poco de operación con complejos.

·

¡Hola Juana!

Calcular dos números complejos cuya suma es un numero real, su diferencia tiene por parte real -1 y su producto vale 15+3i

Sean los números:

a + bi

c + di

La suma a+c + (b+d)i es real, luego

b+d=0

d=-b

La diferencia a - c + (b-(-b))i = a - c + 2bi  tiene parte real -1, luego

a-c = -1

c = a+1

Y el producto

$$\begin{align}&(a+bi) ·(a+1-bi) =a^2+a+(-ab+ab+b)i-b^2i=\\&\\&a^2+a+b^2 +bi = 15+3i\\&\\&\text{deben coincidir parte real e imaginaria}\\&\\&b=3\implies d=-3\\&\\&a^2+a+9=15\\&a^2+a-6=0\\&a=\frac{-1\pm \sqrt{1+24}}{2}=-3 \;y\;2\implies c =-2\;y\;3\\&\\&\text{Luego las soluciones son estas dos:}\\&\\&1ª)\quad-3+3i,\quad-2-3i\\&\\&2ª)\qquad2+3i,\quad 3-3i\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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