Resuelve un triángulo ABC con a=2,b=3 y B 60 grados

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¡Hola Juana!

Hagamos el triángulo

Al no decirnos que es un triángulo rectángulo, y por el dibujo real que he hecho vemos que no. En estos casos lo normal es pensar en cuál de los dos teoremas podré aplicar, el de los senos o el del coseno.

Si tenemos dos lados y el angulo entre ellos lo nomal será el del coseno, y si no tenemos eso el del seno. En este caso vemos que no tenemos los dos lados que dan en el ángulo de 60º, por lo tanto tendremos que ver si se puede con el de los senos.

Los lados entre los senos del ángulo opuesto son una constante.

$$\begin{align}&\frac{a}{sen A}=\frac{b}{sen B}=\frac{c}{sen C}\\&\\&\frac 2{sen A}=\frac{3}{sen 60º}=\frac{c}{sen C}\\&\\&\text{De la primera igualdad obtenemos}\\&\\&3 sen A = 2sen60º\\&\\&sen A = \frac{2}{3}sen60º = \frac 23·\frac {\sqrt 3}{2}= \frac{\sqrt {3}}{3}\\&\\&\text{Vamos a hacerlo con irracionales y precisión total}\\&\\&\text{El ángulo C es el suplementario de A+B, luego}\\&\\&sen C=sen(A+B) = senAcosB+cosAsenB=\\&\\&\frac{\sqrt 3}{3}·\frac 12+\sqrt{1-\frac 39}·\frac {\sqrt 3}2=\frac {\sqrt 3}6+\sqrt {\frac 23}·\frac{\sqrt 3}2=\\&\\&\frac {\sqrt 3}{6}+\frac{\sqrt 6}{2 \sqrt 3}=\frac{\sqrt 3}{6}+\frac{\sqrt 6 · \sqrt 3}{6}=\frac{\sqrt 3+3 \sqrt 2}{6}\\&\\&\text{Y ahora en la segunda igualdad}\\&\\&\frac{3}{\frac{\sqrt 3}{2}}=\frac c{\frac{\sqrt 3+3 \sqrt 2}{6}}\\&\\&\frac{6}{\sqrt 3}=\frac{6c}{\sqrt 3+ 3 \sqrt 2}\\&\\&c=\frac{\sqrt 3+ 3 \sqrt 2}{\sqrt 3}=1+\sqrt 6\\&\\&\text{Luego vamos con las respuestas}\\&\\&c = 1+\sqrt 6 \approx 3.449489742\\&\\&A=arc sen \frac {\sqrt{3}}3 \approx 35.26438968º\\&\\&C=180º-60º- 35.26438968º = 84.73561032º\\&\\&---------------------\\&\\&\text{Y podrás pensar, ¿Por qué no calcula C a partir de su seno?}\\&\\&C= arc sen \frac{\sqrt 3+3 \sqrt 2}{6}\approx 84.73561032º\\&\\&¡Clavado!\end{align}$$

Y eso es todo, lo normal no es que calcule C de esta forma, pero si queríamos la mayor exactitud esa es la forma.

Saludos.

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En realidad la respuesta exacta para C sería

$$\begin{align}&C= 120º-arcsen \frac{\sqrt 3}{3}\approx 84.73561032º\end{align}$$

Por cierto Juana. Que yo pienso que a lo mejor tampoco hay que ser tan estrictos como he sido. Creo que el profesor de tu hijo la haría como digo en facebook una vez calculado el seno de A

$$\begin{align}&sen A = \frac{2}{3}sen60º = \frac 23·\frac {\sqrt 3}{2}= \frac{\sqrt {3}}{3}\\&\\&A= arcsen  \frac{\sqrt {3}}{3} = 35.26438968º\\&\\&C = 180º-60º-35.26438968º = 84.73561032º\\&\\&\text{Y de la igualdad}\\&\\&\frac{3}{sen 60º}=\frac c{senC}\\&\\&c=\frac{3 sen C}{sen 60º}=\frac{3\,sen\,84.73561032º}{\frac{\sqrt 3}{2}}=3.449489743\\&\end{align}$$

Así es como lo habría resuelto yo normalmente, pero esta vez me vi demasiado inspirado.

Saludos.

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No desgraciadamente si no lo haces como tu ..al principio lo considera mal..por edo estoy preocupada..con 16 es duró esto

Pues como lo he hecho al principio creo que es la la primera vez que lo hago en la vida. Yo mismo me he quedado sorprendido de lo que hacía.

Y como se transmite esto...de ir hasta el final con todo expresado como irracional....a mí me cuesta mucho...yo necesito saber de qué Angulo hablo...y no de su arco seno....es todo muy abstracto..a mi edad..y no aprobaría......