Álgebra: en que intervalos se encuentra

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¡Hola Anónimo!

No sé si podré con este ejercicio porque a lo mejor se necesitan cosas que no sé si las habrás dado.

$$\begin{align}&\frac{(1+x)^2-(1-x)^2}{(1+x)^2+(1-x)^2}=\\&\\&\frac{1+2x+x^2-(1-2x+x^2)}{1+2x+x^2+1-2x+x^2}=\\&\\&\frac{1+2x+x^2-1+2x-x^2}{2+2x^2}=\frac{4x}{2+2x^2}=\frac{2x}{1+x^2}\\&\\&\text{El rango es el dominio de la función inversa}\\&\\&y=\frac{2x}{1+x^2}\\&\\&y+x^2y=2x\\&\\&x^2y-2x+y=0\\&\\&x= \frac{2\pm \sqrt{4-4y^2}}{2y}\\&\\&\text{Los valores posibles para y son}\\&\\&4-4y^2\ge 0\\&\\&4y^2 \le4\\&\\&y^2\le 1\\&\\&\text{pero y=0 no vale por culpa del denominador}\\&\\&y\in[-1,0)\cup (0,\;1]\\&\\&\text{Pero nos dicen que }x\gt 0\\&\\&x= \frac{2\pm \sqrt{4-4y^2}}{2y}\gt 0\\&\\&\text{El numerador es siempre positivo ya que la }\\&\text{raíz puede valer 2 como máximo, luego}\\&\text{El signo depende solo del denominador}\\&\text{Si y es negativo no se cumplirá}\\&\\&\text{Luego la respuesta final es}\\&\\&y=\frac{(1+x)^2-(1-x)^2}{(1+x)^2+(1-x)^2} \in(0,1]\end{align}$$

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Dice que x > 0, siendo así entonces veamos el numerador y denominador por separado

Numerador:

(1 + x)^2 vs (1 - x)^2

Como x > 0 entonces se da que (1 + x)^2 > (1 - x)^2...(sería igual si x=0, pero ese valor no está permitido)

De lo anterior se ve que el numerador es siempre positivo

Denominador: es una suma de dos cuadrados, por lo tanto también es siempre positivo

En principio podemos ver que la fracción es siempre positiva

Cuando x tiende a + infinito la fracción tiende a cero

Cuando x tiende a cero(+) la fracción tiende a cero

Sabemos que es positiva, continua y tiende a cero en los extremos de su dominio, por lo tanto vamos a derivar para calcular su máximo

$$\begin{align}&f(x) = ((1+x)^2-(1-x)^2)\cdot ((1+x)^2+(1-x)^2)^{-1}\\&f'(x)= -\frac{2(x^2-1)}{(1+x^2)^2}\\&f'(x)=0 \Rightarrow 0 = -2(x^2-1)\\&x^2-1=0\\&x=\pm1 \text{ (como x>0, la solución es x=1)}\\&\text{debe ser máximo pero vamos a verificarlo}\\&f'(0) =-\frac{2(0^2-1)}{(1+0^2)^2} = -\frac{-2}{1}=2 > 0\\&f'(2) =-\frac{2(2^2-1)}{(1+2^2)^2} = -\frac{6}{25}< 0 \\&\text{Efectivamente x=1 es máximo}\\&f(1) = \frac{(1+1)^2-(1-1)^2}{ (1+1)^2+(1-1)^2}=\frac{2^2}{2^2}=1\\&\therefore\\&Rango=(0,1]\end{align}$$