Hallar dominio y rango de esta función:

Si es lo que entiendo, entonces la función es

$$\begin{align}&f(x) = \frac{2x^3+4x+2}{5x+9}\\&\text{Dominio, cociente de funciones continuas (los polinomios lo son) es continua salvo donde el denominador sea 0, luego}\\&5x+9=0 \to x = -9/5\\&Dom = R - \{-9/5\}\\&Rango: \text{(Para esto expresemos x en función de y)}\\&y = \frac{2x^3+4x+2}{5x+9}\\&y (5x+9)= 2x^3+4x+2\\&5xy+9y= 2x^3+4x+2\\&9y-2= 2x^3+4x-5xy\\&9y-2= x(2x^2+4-5y)\\&\text{La verdad no está muy cómodo para seguir por este lado, aunque a priori no se ve nada "raro"}\\&\text{como podría ser una raíz de un valor que podría ser negativo o un denominador que pueda hacerse cero}\\&\text{No se que nivel tenés, pero para investigar un poco más hay que ir por el lado de los límites (tanto en el infinito como en el punto donde no está definida)}\\&\lim_{x \to \pm \infty}\frac{2x^3+4x+2}{5x+9}=+\infty\\&\lim_{x \to -9/5}\frac{2x^3+4x+2}{5x+9}=\lim_{x \to -9/5}\frac{-2108/125}{0}= " \infty "\\&\text{Acá importan los signos para ver a que infinito tienden, para esto analizamos los límites laterales}\\&\lim_{x \to -9/5^-}\frac{-2108/125}{0^-}=\frac{-}{-}=+\infty\\&\lim_{x \to -9/5^+}\frac{-2108/125}{0^+}=\frac{-}{+}=-\infty\\&\therefore\\&Rango = R\\&\\&\\&\end{align}$$

·

·

¡Hola Keila!

Es una función racional (cociente de polinomios) el dominio es todo R salvo los puntos donde el denominador se hace 0

5x+9 = 0

5x = -9

x = -9/5

Dom f = R - {-9/5}

·

Para calcular el rango dividimos la función en sus dos trozos continuos y calculamos los límites en los extremos

$$\begin{align}&\lim_{x\to -\infty} \frac{2x^3+4x+2}{5x+9}=\\&\\&\lim_{x\to -\infty} \frac{2x^2+4+\frac 2x}{5+\frac 9x}=\frac{2(-\infty)^2+4+0}{5+0}=+\infty\\&\\&\text{ahora el límite por la izquierda en la asíntota vertical}\\&\\&\lim_{x\to-\frac 95^-}\frac{2x^3+4x+2}{5x+9}\\&\\&\text{El denominador tiende a 0, pero es negativo ya que}\\&\\&x\lt-\frac{9}5\implies 5x+9\lt0\\&\\&\lim_{x\to-\frac 95^-}\frac{2x^3+4x+2}{5x+9}=\frac{-2·\frac{729}{125}-4·\frac 95+2}{0^-}=\\&\\&\text{a ojo se ve que el numerador es negativo}\\&\text{por lo tanto el límite será negativo entre }\\&\text{negativo tendiendo a 0}=+\infty\\&\\&\text{y en el otro trozo}\\&\\&\lim_{x\to-\frac 95^+}\frac{2x^3+4x+2}{5x+9}=\frac{-2·\frac{729}{125}-4·\frac 95+2}{0^+}=-\infty\\&\\&\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^3+4x+2}{5x+9}=\lim_{x\to \infty} \frac{2x^2+4+\frac 2x}{5+\frac 9x}=\\&\\&\frac{2(\infty)^2+4+0}{5+0}=+\infty\\&\\&\\&\end{align}$$

El primer trozo no nos dice nada ya que los dos límites son +infinito, pero el segundo tiene límites - infinito y + infinito.  Como es un trozo continuo tiene todos los valores intermedios.

Por tanto

Rango f = R

:

: