Aplicaciones de derivadas. Problemas de optimización

Debemos derivar e igualar a cero (luego verificar que efectivamente sea un mínimo ya que podría ser un máximo)

$$\begin{align}&C(x) = \frac{100000000}{x}+100x+50\\&C'(x) = \frac{-100000000}{x^2}+100\\&C'(x)=0 \to 0=\frac{-100000000}{x^2}+100\\&\frac{100000000}{x^2}=100\\&\frac{100000000}{100}=x^2\\&1000000=x^2\\&x = 1000\\&\text{PAra verificar que efectivamente es mínimo, calculamos C''(x)}\\&C''(x) = \frac{200000000}{x^3} \text{ que para x>0 es siempre positivo, por lo tanto es mínimo}\\&\text{No lo pide, pero el costo será C(1000)}\\&C(1000)=\frac{100000000}{1000}+100\cdot 1000+50=100000+100000+50=20050\end{align}$$

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¡Hola Oscar!

Calcularemos la derivada e igualaremos a 0 para hallar la x que minimiza el costo

$$\begin{align}&C_T(x)= \frac {100000000}{x}+100x+50\\&\\&C_T'(x)=-\frac{100000000}{x^2}+100 = 0\\&\\&-\frac{100000000}{x^2}=-100\\&\\&100x^2 = 100000000\\&\\&x^2 = 1000000\\&\\&x=1000 \\&\\&\text{ya que -1000 no sirve}\\&\\&\text{Comprobamos que es mínimo calculando la derivada segunda}\\&\\&C_T'(x) =-1000000x^{-2}+100\\&\\&C_T''(x) = 2000000x^{-3}\\&\\&C_T''(1000) = \frac{2000000}{1000^3}\gt 0\\&\\&\text{luego es un mínimo}\\&\\&\text{Y eso es todo lo que piden}\\&\text{la cantidad de bultos es 1000}\end{align}$$

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