Como solucionar una hipérbola desde una ecuación
Necesito que por favor me colaboren con la solución de esta hipérbola:
1. De la siguiente hipérbola: -x^2 + 4y^2 – 2x – 16y + 11 = 0. Determine:
a. Centro
b. Focos
c. Vértices
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Camilo!
Debemos transformar la ecuación en canónica. La ecuación canónica de las hipérbolas tiene dos posibilidades:
$$\begin{align}&\text{Si el eje de los focos esparalelo al eje X}\\&\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\\&\\&\text{Y si el eje de los focos es paralelo al eje Y}\\&\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1\\&\\&-x^2+4y^2 -2x -16y + 11 = 0\\&\\&\text{completamos cuadrados}\\&\\&-(x+1)^2+1+4(y^2-4y)+11=0\\&\\&-(x+1)^2+1 + 4[(y-2)^2-4)]+11=0\\&\\&-(x+1)^2 +4(y-2)^2+1-16+11 =0\\&\\&-(x+1)^2 +4(y-2)^2=4\\&\\&\text{se consumó la tragedia, eje de los focos vertical}\\&\\&(y-2)^2- \frac{(x+1)^2}{4}= 1\\&\\&\frac{(y-2)^2}{1^2}- \frac{(x+1)^2}{2^2}= 1\\&\\&\text{El centro es (h, k)=(-1, 2)}\\&\\&\\&\\&\text{La distancia centro a vértices es }a=1\\&\text{recordemos que es distancia vertical, luego}\\&\\&V_1=(-1,\;2-1)=(-1,1)\\&\\&V_2=(-1,\;2+1)= (-1,3)\\&\\&\\&\text{La distancia vertical del centro a los focos es }\\&\\&c= \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1+2^2}=\sqrt 5\\&\\&F_1=(-1, 2- \sqrt 5)\\&F_2=(-1,2+\sqrt 5)\end{align}$$Bueno, tampoco fue tragedia que el eje fuera vertical, JaJa.
Y eso es todo.
