Como darle solucion a las ecuaciones canonicas
Necesito de la ayuda de todos ustedes como siempre lo han hecho, necesito que me colaboren con la solución de las siguientes ecuaciones canonicas:
1. De la siguiente elipse: x^2 + 4y^2– 4x - 8y – 92 = 0. Determine:
a. Centro
b. Focos
c. Vértices
2. De la siguiente ecuación canónica de la elipse, transformar la ecuación :
sqrt(x-c)^2 + y^2 + sqrt(x+c)^2 + y ^2 = 2a
En la ecuación: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1.
Ojala me haya hecho entender.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Camilo!
$$\begin{align}&x^2 + 4y^2– 4x - 8y – 92 = 0\\&\\&\text{Debemos llegar a la ecuación canónica}\\&\\&\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1\\&\\&\text{completamos cuadrados en las x}\\&\text{y sacamos un factor constante de las y}\\&\\&(x-2)^2-4 +4(y^2-2y)-92 = 0\\&\\&\text{completamos cuadrados en las y}\\&\\&(x-2)^2-4+4\left((y-1)^2-1 \right)-92 = 0\\&\\&(x-2)^2 +4(y-1)^2 -4-4-92 = 0\\&\\&(x-2)^2 +4(y-1)^2 = 100\\&\\&\frac{(x-2)^2}{100}+ \frac{4(y-1)^2}{100}=1\\&\\&\frac{(x-2)^2}{100}+ \frac{4(y-1)^2}{25}=1\\&\\&\frac{(x-2)^2}{10^2}+ \frac{4(y-1)^2}{5^2}=1\\&\\&Centro= (2,1)\\&\\&\text{Semidistancia focal } c= \sqrt{a^2-b^2}\\&\\&c= \sqrt{100-25} = \sqrt{75}=5 \sqrt 3\\&\\&F_1= (2- 5 \sqrt 3, \;1)\\&F_2=(2+5 \sqrt 3, \;1)\\&\\&\text{Vertices en X, se resta/suma el semieje a a la}\\&\text{coordenada x del centro}\\&\\&V_{1x}=(-8,1)\\&V_{2x}=(12,1)\\&\\&\text{Vértices en Y, (si te los piden) lo mismo con b}\\&\text{restado/sumado a la coordenada y}\\&\\&V_{1y}= (2,-4)\\&V_{2y}= (2,6)\\&\\&\end{align}$$Y eso es todo, en cada pregunta un solo ejercicio de esta categoría.
Saludos.
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