Ecuaciones diferenciales: resolver el problema de valor inicial a través del método series de Taylor

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¡Hola Oscar!

Si ponemos y como función de x va a salir un rollo de muerte, mejor vamos a poner x como función de y. Pondremos x como una serie de potencias de "y" y la derivaremos y sustituiremos. Pero lo primero será poner le derivada de x respecto de y

$$\begin{align}&\frac {dy}{dx}=\frac{1}{x+y+1}\\&\\&\text{intercambiamos numerador y denominador}\\&\\&\frac{dx}{dy}=x+y+1\\&\\&\text{Expresamos x com seri de potencias de y}\\&\\&x=\sum_{n=0}^{\infty}C_ny^n\\&\\&\text{Calculamos la derivada de x respecto de y}\\&\\&\frac{dx}{dy}=\sum_{n=1}^{\infty}nC_ny^{n-1}\\&\\&\text{susituimos en la ecuación diferencial modificada}\\&\\&\sum_{n=1}^{\infty}nC_ny^{n-1}=1+y+\sum_{n=0}^{\infty}C_ny^n\\&\\&\sum_{n=1}^{\infty}nC_ny^{n-1}-\sum_{n=0}^{\infty}C_ny^n=1+y\\&\\&\text{extraemos los dos primeros de cada sumatorio}\\&\\&C_1+2C_2y-C_0-C_1y +\sum_{n=3}^{\infty}nC_ny^{n-1}-\sum_{n=2}^{\infty}C_ny^n=1+y\\&\\&\text{Se deducen estas ecuaciones}\\&C_1-C_0=1\\&2C_2-C_1=1\\&nC_n-C_{n-1}=0  \quad \forall n\gt2\\&\\&\text{Como nos dicen }\\&y(0)=0\implies x(0)=0\\&\text{y como}\\&x(0)=C_0\implies C_0=0\\&luego\\&C_1-0=1\implies C_1=1\\&luego\\&2C_2-1=1\implies C_2=1\\&\\&\text{Y para los }n \gt 2\\&nC_n-C_{n-1}=0\implies C_n=\frac{C_{n-1}}{n}\\&C_3=\frac 13 =\frac 2{3!}\\&C_4=\frac {1}{3·4}=\frac{2}{4!}\\&C_5=\frac{1}{3·4·5}=\frac{2}{5!}\\&C_n=\frac{2}{n!}\\&\\&\text{Notemos que para n=2 también sirve la fórmula}\\&\\&x= y +\sum_{n=2}^{\infty}\frac 2{n!}y^n=y+2\sum_{n=2}^{\infty}\frac {y^n}{n!}\\&\\&\text{restamos y sumamos los terminos de n=0 y 1+}\\&\\&x=y+2\left(-1-y  +\sum_{n=0}^{\infty}\frac {y^n}{n!}\right)\\&\\&\text{Esa serie la conocemos}\\&\\&x=y+2(-1-y+e^y)\\&\\&x=y-2-2y+2e^y\\&\\&x=2e^y-y-2\end{align}$$

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