Como hallar las preimagenes, núcleo ybases de estas Transformaciones Lineales
Cuales serian los pasos a realizar para hallar la preimagen, base del núcleo y de la imagen de T.
1 Respuesta
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¡Hola Ezio!
El 19 no se puede hacer, está cortado.
Y en el 20 vamos a ver porque los 4 son muchos.
Lo de la preimagen es una palabra que no conozco, no sé si quieres decir el origen con ello, pero el origen es el espacio vectorial de partida luego no tiene que hacerse ningún cálculo.
$$\begin{align}&a) \quad T: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3\\&\qquad T(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_1+x_3,\;x_1-x_2,\;2x_2+x_3)\\&\\&\text{El núcleo es el espacio vectorial dado por}\\&\\&T(x_1,x_2,x_3)=\vec 0=(0,0,0)\\&\\&x_1+x_2+x_3=0\\&x_1-x_2=0\\&2x_2+x_3=0\end{align}$$La pena es que en este editor de ecuaciones no se pueden meter matrices, luego lo haremos con texto normal
1 1 1 | 0
1 -1 0 | 0
0 2 1 | 0
A la segunda le restamos la primera
1 1 1 | 0
0 -2 -1 | 0
0 2 1 | 0
Y a la tercera le sumamos la segunda
1 1 1 | 0
0 -2 -1 | 0
0 0 0 | 0
Esto determina un espacio de dimensión 1 que depende de un parámetro
Si hacemos z=t tendremos en la segunda
-2y - t = 0
2y = -t
y = -t/2
Y ahora en la primera
x - t/2 + t = 0
x + t/2 = 0
x= -t/2
luego el espacio solución está formado por todos los puntos (-t/2, -t/2, t)
pero podemos tomar otro vector paralelo multiplicando por (-2) y expresarlos como
Ker T = {(t, t, -2t) | t ∈ R}
Y la base para este espacio está bien clara
B = {(1,1,-2)}
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Sea (u, v, w) un vector de la imagen, entonces deben existir vectores (x1, x2, x3) tales que T(x1, x2, x3)=(u, v, w)
eso se traduce en un sistema de ecuaciones cuya representación matricial es
1 1 1 | u
1 -1 0 | v
0 2 1 | w
Hacemos las mismas operaciones que antes
1 1 1 | u
0 -2 -1 | v-u
0 2 1 | w
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1 1 1 | u
0 -2 -1 | v-u
0 0 0 | w + v - u
El resultado de la ultima ecuación debe ser 0, ya que
0·x1 + 0·x2 + 0·x3 = 0+0+0 = 0
Luego
w+v-u=0
Esa ecuación define el espacio imagen.
Para buscar un base tomamos u y v y calculamos w
w = u-v
Lo normal es tomar primero u=1, v=0 entonces
w = 1-0 = 1
Y después tomamos u=0, v=1 entonces
w = 0-1 = -1
Y tenemos dos vectores del espacio vectorial
B={(1,0,1), (0,1,-1)}
Que son independientes. Siempre que dados solo dos vectores no nulos ninguno, uno tenga ceros en columnas que el otro no los tenga, son independientes.
Y además la dimensión del espacio imagen es:
Dim(Imagen) = Dim(Origen) - Dim(Ker T) = 3-1 = 2
Luego el conjunto B que hemos puesto es una base.
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Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Los otros se harán parecido. Si quieres que los haga yo, deberá ser uno por pregunta.
Saludos.
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