Problema de volúmenes calculo integral

El volumen del sólido de revolución de la zona acotada por dos funciones f y g alrededor del eje horizontal y=k se calcula como:

$$\begin{align}&V=\pi \int_a^b[f(x)-k]^2-[g(x)-k]  \dx\\&\\&puntos \ de \ corte  \ de \ las \ funciones\\&\\&y=2-x^2\\&y=1\\&\\&2-x^2=1 \Rightarrow x=\pm1\\&\\&V=\pi \int_{-1}^1(2-x^2-1)^2-(1-1)^2 \ \ dx=\\&\\&2 \pi \int_0^{\pi}(1-x^2)^2dx= 2 \pi \int_0^{1}(1+x^4-2x^2)dx=\\&\\&2\pi \Big[x+\frac{x^5}{5}-\frac{2x^3}{3} \Big]_0^1=2 \pi(1+\frac{1}{5}-\frac{2}{3})=2 \pi \frac{8}{15}=\\&\\&=\frac{16}{15} \pi \simeq 3.351032164.......\end{align}$$

Saludos

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¡Hola Oscar!

Calcularemos los puntos de corte de la parábola con la recta y=1 para hallar los límites de integración

y=1

y=2-x^2  ==> 1 = 2-x^2  ==> x^2=1 ==> x = +-1

Luego los límites de integración son -1 y 1.

Ahora debemos tener en cuenta que no gira alrededor del eje X, recta y=0 sino alrededor de la recta y=1

Para desplazar la recta y=1 a y=0 hay que restar 1 a la componente y de los puntos

Entonces los puntos

(x, 2-x^2)

se transforman en puntos

(x, 2-x^2-1) = (x, 1-x^2)

luego la función 

y=1-x^2

Girando alrededor del eje X es equivalente a la función que nos dan girando alrededor de la recta y=1.

Este razonamiento que he hecho tal vez lo veas tú más claro haciéndolo de otra forma, es muy sencillo deducir la función equivalente. Tal vez girando alrededor de un eje vertical sea más útil usar mi razonamiento.

Luego el volumen es:

$$\begin{align}&V=\pi\int_a^b f(x)^2dx\\&\\&V=\pi\int_{-1}^1(1-x^2)^2dx=\\&\\&\pi \int_{-1}^1(1-2x^2+x^4)dx=\\&\\&\pi\left[x-\frac{2x^3}3+\frac{x^5}{5}  \right]_{-1}^1=\\&\\&\pi\left(1-\frac 23+\frac 15+1-\frac 23+\frac 15  \right)=\\&\\&\pi  \left(2-\frac 43+\frac 25  \right)=\pi\left(\frac{30-20+6}{15}\right)=\\&\\&\frac{16}{15}\pi\approx 3.351032164\end{align}$$

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