Necesito resolver esta tarea de matematicas

La 1ª es una función racional (cociente de polinomios). El dominio son todos los Reales menos cuando el denominador es 0

4+x=0

x=-4

Dom=|R-{-4}

Despejando x:

$$\begin{align}&y=\frac{7x+2}{4+x}\\&4y+yx=7x+2\\&yx-7x=2-4y\\&x(y-7)=2-4y\\&\\&x=\frac{2-4y}{y-7}\\&\\&Para \ el \ rango \ miramos\ el\ dominio   \ de \ la \ función \ inversa, que \ sería:\\&\\&y=\frac{2-4x}{x-7}\\&\\&x-7=0 \Rightarrow x=7 \Rightarrow  Rango= \mathbb R- \{7\}\end{align}$$

2.- Es una función irracional . El dominio se calcula resolviendo la inecuación que sale de hacer el radicando mayor o igual a cero (que es la condición para poder calcular una raíz cuadrada)

$$\begin{align}&x+6 \geq0\\&x \geq -6\\&Dom=[-6,+ \infty)\\&\\&Rang=[0,+ \infty)\\&\\&y=\sqrt{x+6}\\&\\&y^2=x+6\\&\\&x=y^2-6\end{align}$$

El valor menor de x es -6 ==> y(-6)=-6+6=0

El menor valor de y es 0, y a partir de allí al aumentar x aumenta y, por eso el Rang[0.+infinito)

Saludos

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¡Hola Sararozo!

y=(7x+2)/(x+4)

Es un cociente de polinomios, está definido en todos los puntos salvo donde el denominador se hace cero

x+4 = 0

x=-4

Dom f = R - {-4}

Despejamos la x antes de calcular el rango ya que viene bien.

$$\begin{align}&y=\frac{7x+2}{x+4}\\&\\&y(x+4)=7x+2\\&\\&yx +4y=7x+2\\&\\&yx-7x = 2-4y\\&\\&x(y-7) = 2-4y\\&\\&x= \frac{2-4y}{y-7}\\&\\&\text{el rango son los valores de y para los que}\\&\text{está definida la función de la deecha.}\\&\text{Son todos salvo cuando el denominador es 0}\\&\\&y-7=0\\&y=7\\&\\&Rango \,f=\mathbb R-{7}\end{align}$$

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y=sqrt(x+6)

para que una raíz cuadrada esté definida debe ser el radicando no negativo

x+6 >= 0

x >= -6

Dom f = [-6, infinito)

Para despejar x elevamos al cuadrado

y^2 = x+6

x = y^2 - 6

Y está definida para todo R pero debemos tener en cuenta que también debe cumplirse que

y=sqrt(x-6) 

es siempre no negativa luego  y>=0

Rango f = [0, infinito)

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