¿Sobre el Ejercicio de Binomial - Distribución Normal?
Del Foro y amigo Valero Angel,
En el siguiente ejercicio de Probabilidades que justamente vimos anteriormente:
Un ciento de pequeños tornillos se empacan en una caja. Cada tornillo pesa 1 onza con desviación estándar de 0.1 onza. Si se empacan 100 cajas.
a)¿Cuál es la Probabilidad de que 10 de las 100 cajas tengan un peso que supere a 100.2 onzas?
b)¿Cuál es la Probabilidad de que por lo menos 11 de estas cajas tengan un peso que supere a 100.2 onzas?
En la parte a) logramos calcular la binomial B(100,0.492021686) que resulto P(10) = aproximadamente cero
Y ahora en la parte b) nos preguntan la probabilidad escrita arriba, como me explico se resolvería aproximando la Binomial por una Distribución Normal.
Le Agradecería mucho me pueda ayudar con la Solución detallada de la pregunta b) para poder comprenderla a detalle.
$$\begin{align}& \\&\end{align}$$·
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¡Hola Paulo!
No me sirven los datos calculados la vez anterior porque veo una confusión con los números
En la otra pregunta que mandaste era
a= 100.02
b= 100.2
en esta son los dos iguales a=b=100.2
Deberías aclararte cuál es la correcta y a lo mejor en el ejercicio a tienea que cambiar la respuesta.
Primero calculamos la binomial, es parecido a la vez anterior pero con 100.2
$$\begin{align}&\sigma_{\overline X}=\frac{\sigma_X}{\sqrt n}=\frac{0.1}{\sqrt{100}}=\frac{0.1}{10}=0.01\\&\\&\text{Luego }\overline X \text{ es una } N(1, \;0.01)\\&\\&P\left(\sum_{i=1}^{100}X_i\gt100.2\right)=P\left(\overline X\gt1.002\right)=\\&\\&P\left(Z\gt \frac{1.002-1}{0.01} \right)=P(Z\gt0.2)=\\&\\&1-P(Z\lt 0.2) = 1-0.579259709=\\&\\&0.420740291\\&\text{Luego tenemos una binomial }B(100,\;0.420740291)\\&\\&\\&\end{align}$$Como ves, ahora es más difícil que la caja se pase de peso.
Esa binomial que hemos calculado la aproximaremos mediante una distribución normal. Se dan las condiciones para ello ya que n>30, np>5 y n(1-p)>5, dependiendo de los libros te dirán condiciones distintas pero las que más veo yo últimamente son las dos últimas, que np>5 y n(1-p)>5 y en nuestro caso
np=42.0740291
n(1-p) = casi 58
Loa parámetros de la normal serán
$$\begin{align}&\mu=np=42.0740291\\&\sigma =\sqrt {np(1-p)}= \sqrt{42.0740291·(1-0.420740291)}=\\&\\&4.9367793\\&\\&\text{Nos piden probabilidad }\ge11 \text{para la binomial}\\&\\&\text{Eso es }1- P(B\le10)\\&\\&\text{Al pasar de binomila a normal se suma o resta 0.5}\\&\text{de modo que si el valor entra el intervalo crezca}\\&\text{y si no entra disminuya.}\\&En\; P(\le 10) \text{ el intervalo es [0, 10]}\\&\text{el 0 será el -}\infty\text { de la normal, no hay que tocarlo}\\&\text{el 10 entra luego sumamos 0.5}\\&\text{El intevalo de la normal será }(-\infty, 10.5)\\&\\&1-P(N\le10.5) =\\&\\&\text{se tipifica como siempre, restando media y dividiendo por desviación}\\&\\&1-P\left(Z\le \frac{10.5-42.0740291}{4.9367793} \right)=\\&\\&1-P(Z\le-6.395673613)=1-(1-P(Z\le6.39567613))=\\&\\&P(Z\le6.39567613)=1\end{align}$$Hombre, 1 no es pero como si lo fuese, es seguro que habrá mas de once cajas pasadas de peso.
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