¿Cómo obtengo la paralela de este vector?

Para que sea paralela debe tener el mismo vector director, o sea

$$\begin{align}&L_2=\lambda  \cdot (1,2,-1) + (3,2,4)\\&a) z=0\\&(x,y,0)=\lambda  \cdot(1,2,-1) + (3,2,4)\\&-\lambda+4=0 \therefore \lambda  = 4\\&(x,y,0)=4 \cdot (1,2,-1) + (3,2,4)\\&(x,y,0)=(4,8,-4) + (3,2,4)\\&(x,y,0)=(7,10,0)\\&\text{b) Para esto, simplemente veamos si cada punto pertenece a la recta }L_2\\&(-1,-1,7) \in L_2?\\&(-1,-1,7) =_? \lambda  \cdot (1,2,-1) + (3,2,4)\\&-1=\lambda+3 \to \lambda = -4\\&-1=2\lambda+2 \to -1=2\cdot (-4)+2=-6 Absurdo\\&\therefore  (-1,-1,7)\notin L_2\\&(1,-2,6) \in L_2?\\&(1,-2,6) =_? \lambda  \cdot (1,2,-1) + (3,2,4)\\&1=\lambda+3 \to \lambda=-2\\&-2=2\lambda+2 \to -2=2\cdot(-2)+2=-2  \ (vale)\\&6=-\lambda+4=-(-2)+4=6\ (vale)\\&\therefore (1,-2,6) \in L_2\end{align}$$

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¡Hola Ezio!

La recta L2 la podemos generar con el mismo vector que L1 y el punto por donde debe pasar.

$$\begin{align}&L_2:  \lambda(1,2,-1)+(3,2,4) =(3+\lambda,\; 2+2\lambda,\;4-\lambda)\\&\\&a) \;Si\; z=0 \implies 4-\lambda=0\implies \lambda=4\\&\\&\text{Luego el punto es}\\&(3+4, 2+2·4,4-4)= (7,10,0)\\&\\&\text {b) Calculamos el }\lambda \text{para una coordenada}\\&\text{y comprobamos si sirva para las otras.}\\&\text{Recuerdo la ecuación}\\&\\&L_2: (3+\lambda,\; 2+2\lambda,\;4-\lambda)\\&\\&(-1,-1,7)\\&\text{Para que sea x=-1  debe ser } \\&3+\lambda=-1\implies \lambda=-4\\&\text{pero entonces la y es }\\&y=2-2·4=-6\\&\text{no se cumple luego no es de la recta}\\&\\&(1,-2,6)\\&\text{Para que sea x=1}\\&3+\lambda=1\implies\lambda =-2\\&y=2+2(-2)=2-4=-2\;  cumple\\&z=4-(-2)=6 cumple\\&\text{Las tres coordenadas cumplen con }\lambda=-2\\&\text{Luego (1,-2,6)}\in L_2\end{align}$$

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