Realizar el desarrollo de las siguientes integrales impropias
Existen casos en el que el Teorema Fundamental del Cálculo NO se cumple para resolver integrales. Tal es el caso de integrales que tienen integrando discontinuo en el intervalo propuesto.
Teniendo en cuenta estos casos, Evaluar las siguientes integrales impropias, Realizando el desarrollo completo aplicando el segundo teorema del calculo, antes de calcular el limite.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Aldo!
Esta función es continua en todo R, el único problema es que el límite de integración derecho es infinito
$$\begin{align}&\int_1^{\infty}(1-x)e^{-x}dx=\\&\\&\lim_{K\to \infty} \int_1^K (1-x)e^{-x}dx=\\&\\&u= 1-x\qquad\;\; du=-dx\\&dv=e^{-x}dx\qquad v=-e^{-x}\\&\\&\lim_{K\to \infty}\left((x-1)e^{-x}\bigg|_1^K-\int_1^Ke^{-x} dx \right)=\\&\\&\lim_{K\to \infty}\left((K-1)e^{-K}-0+e^{-x}\bigg|_1^K \right)=\\&\\&\lim_{K\to \infty}\left((K-1)e^{-K}+e^{-K}-e^{-1}\right)=\\&\\&\lim_{K \to\infty}(Ke^{-K}-e^{-1})=\\&\\&\lim_{K \to\infty}\left(\frac{K}{e^{K}}-e^{-1}\right)=\\&\\&0-e^{-1}=-\frac 1e\\&\end{align}$$:
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