Encuentre el área de la región comprendida entre la curva

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¡Hola Samara!

Es interesante hacer la gráfica pero lo único que nos interesa en esta son los cortes con el eje X, vamos a calcularlos

x^3 - x^2 - 6x =

x(x^2 - x - 6) =

Si no manejas bien la factorización puedes resolver la ecuaciçon de segundo grado, pero yo la factorizaré mentalmente

x(x-3)(x+2)

Luego los cortes con el eje X son {-2, 0, 3}

Como es un polinomio de grado 3 con coeficiente director positivo ya sabemos que empieza en -infinito, tendrá un área por encima del eje X en [-2, 0] y otra por debajo en [0, 3]. Todo eso lo veremos ahora en la gráfica.

Y el área habrá que calcularla en el intervalo [2,0], luego en [0,3] pero con cuidado de tomarla positiva y después se suman. Haremos solo una vez la integral indefinida y luego todas la evaluaciones que hagan falta

$$\begin{align}&F(x)=\int(x^3-x^2-6x)dx=\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-3x^2\\&\\&\text{El plan para calcular el área es hacer positiva la}\\&\text{segunda cambiando el orden de los límites de integración}\\&\\&A=F(0) -F(-2) + F(0)-F(3)= 2F(0)-F(-2)-F(3)=\\&\\&2·0-\left( 4+\frac 83-12 \right)-\left(\frac {81}{4}-9-27  \right)=\\&\\&-\left(-\frac {16}3\right)-\left(-\frac{63}{4}\right)=\frac{16}{3}+\frac{63}{4}=\\&\\&\frac{64+189}{12}=\frac{253}{12}\end{align}$$

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