Como resuelvo esta integral (función inversa)

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¡Hola Manzanita!

$$\begin{align}&\int \frac{dx}{6x\sqrt{9x^2-1}}=\\&\\&3x=sec\,t\\&3dx=sec\,t·tg\,t\;dt\implies dx= \frac 13 sec\,t·tg\,t\;dt\\&\\&=\frac 13\int \frac{sec\,t·tg\,t}{2sec\,t \sqrt{sec^2t-1}}dt=\\&\\&\frac 16\int \frac{tg\,t}{\sqrt{sec^2t-1}}dt=\\&\\&\text{como }sec^2t=1+tg^2t\implies sec^2t-1=tg^2t\\&\\&=\frac 16\int \frac{tg\,t}{\sqrt {tg^2t}}dt= \frac 16 \int dt =\frac t6+C=\\&\\&\frac{arcsec (3x)}{6}+C=\\&\\&\text{Como el arcosecante no es muy usado}\\&\text{vamos a ponerlo mejor como un arcocoseno}\\&\\&=\frac{arccos \left(\frac 1{3x}\right)}{6}+C\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.  Si no es así, pregúntame.  Y si ya está bien, NO olvides puntuar para que podamos seguir contestando tus preguntas.

Saludos.

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Estamos viendo estas formulas y segun mi profesora las debia de aplicar:

$$\begin{align}&\int \frac{du}{u\sqrt{u^2-1}}=sec^{-1}u+c\end{align}$$

y yo hice asi:

$$\begin{align}&u^2=9x^2\end{align}$$

$$\begin{align}&u=3x\end{align}$$

$$\begin{align}&\frac{du}{3}=dx \end{align}$$

\frac{1}{3}\int \frac{du}{2u\sqrt{u^2-1}}

$$\begin{align}&\frac{1}{3}\int \frac{du}{2u\sqrt{u^2-1}}\end{align}$$